Билет 18.1 1. Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения u 0(t) = U 0

Переходные процессы в LR и RC цепях. Постоянная времени.

Переходные процессы в RC-цепи

При анализе подключения RC -цепи к источнику напряжения u ₀(t) (рис. 15.1, а), согласно сказанному выше, из уравнений, составленных для цепи после коммутации, —

Рис. 15.1

при замкнутом ключе

исключим ток и сведем их к одному уравнению относительно переменной состояния u_C:

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнений

Для нахождения второго из них составим характеристическое уравнение RC l + 1 = 0, корнем которого является l = – 1/ RC. Общее решение однородного уравнения — свободная составляющая напряжения u " _C — соответствует цепи с исключенным источником

где A — пока неопределенная константа; t = RC — величина, имеющая размерность времени, характеризующая скорость протекания переходного процесса, так называемая постоянная времени.

Характер частного решения — вынужденной составляющей u ' _C — определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника u ₀(t). В простейших случаях подключения цепи к постоянному источнику u ₀(t) = U ₀ = const и замыкания конденсатора на резистор, когда u ₀(t) = 0, составляющую u ' _C можно найти, руководствуясь следующими соображениями. Вид общего решения u_C = u ' _C + A e ^{– t /t} показывает, что u ' _C представляет собой значение напряжения на конденсаторе, которое будет достигнуто в установившемся режиме после окончания переходного процесса. Действительно, при t ® ¥ u_C (t) ® u ' _C, так как свободная составляющая u " _C с течением времени затухает. Рассмотрим перечисленные случаи.

1. Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения u ₀(t) = U ₀. К концу переходного процесса на конденсаторе установится напряжение источника U ₀, т. е. u ' _C = U ₀. Отсюда

Для определения постоянной A используем начальное условие. Согласно закону коммутации, напряжение на конденсаторе в момент замыкания ключа остается непрерывным. Поэтому если в исходном состоянии до замыкания ключа конденсатор не был заряжен (u_C (– 0) = 0), то это же нулевое значение u_C сохранит и непосредственно после замыкания. Из последнего выражения при t = 0 имеем

Отсюда найдем A = – U ₀ и запишем окончательно

u_C (t) = U ₀(1 - e ^{- t/ t}).

Из исходных уравнений цепи получим для тока:

Характер изменения тока и напряжения при подключении RC -цепи к источнику постоянного напряжения изображен на рис. 15.1, б.

Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значения U ₀/ R, и все напряжение источника приложено к резистору. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем повышается, это ведет к соответственному уменьшению тока в цепи. Скорость этих процессов определяется постоянной времени t. Она определяет время, за которое происходила бы зарядка конденсатора, если бы скорость зарядки сохранялась постоянной и равной ее значению в начале процесса (см. рис. 15.1, б). Так как скорость зарядки замедляется по мере увеличения напряжения, то за время, равное постоянной времени t = t, свободные составляющие уменьшаются по сравнению со своим начальным значением в e» 2,718 раза. За время t = 3t свободные составляющие затухают в e ³» 20,09 раза, а за время t = 5t — в е ⁵» 148 раз.

2. Разряд конденсатора на резистор (рис. 15.2, а).

Рис. 15.2

Для расчета тока при разряде и напряжения u_C исходном уравнении следует положить u ₀(t) = 0, что приводит его к однородному уравнению:

а напряжения и токи содержат лишь свободные составляющие. Поэтому его общее решение имеет вид

где константы A и t сохраняют прежний смысл.

Для определения значения A используем начальное условие — значение напряжения u_C (0) = U ₀, до которого конденсатор был заряжен к моменту замыкания ключа. При t = 0 имеем

и окончательно для напряжения u_C запишем

Значение тока разряда определим из исходных уравнений

Соответствующие кривые изображены на рис. 15.2, б. Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U ₀. Скорость протекания разряда определяется постоянной времени t = RC.

Переходные процессы в простейшей RL -цепи

Процессы в RL -цепи с последовательным соединением элементов (рис. 15.4, а) рассчитываются аналогично.

Рис. 15.4

Дифференциальное уравнение для тока имеет вид

L di/dt + Ri = u ₀(t).

Оно не требует преобразования, так как сам ток i является переменной состояния. Запишем общее решение уравнения в виде суммы вынужденной и свободной составляющих

Характеристическое уравнение

имеет корень l = – R / L, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид

где t = L / R — постоянная времени индуктивной цепи.

Вид частного решения i ' зависит от характера напряжения источника.

1. Включение к источнику постоянного напряжения (u ₀(t) = U ₀ = const). В этом случае при t ® ¥ в цепи устанавливается постоянный ток, падение напряжения на индуктивности становится равным нулю, и все напряжение источника приложено к резистору. Поэтому этот ток будет равным i ' = U ₀/ R. Теперь для определения значений постоянной A в общем решении

используем, как и выше, закон коммутации — условие непрерывности тока в цепи в момент коммутации. Так как до замыкания i (– 0) = 0, то

и A = – U ₀/ R. Это приводит к окончательным выражениям для тока в цепи и напряжения на индуктивности

Характер зависимостей тока и напряжения на катушке от времени (рис. 15.4, б) аналогичен кривым для u_C (t) и i (t) в RC -цепи.

2. Замыкание цепи RL накоротко. Процессы при коротком замыкании цепи, в которой ранее протекал ток I ₀ (рис. 15.5, а), описываются однородным уравнением (u ₀(t) = 0);

Рис. 15.5

общее решение для тока в цепи имеет лишь свободную составляющую

Из начального условия имеем i (0) = I ₀ = A, поэтому окончательно

а напряжение на катушке равно

Соответствующие кривые изображены на рис. 15.5, б. Ток после замыкания катушки сохраняет направление, а напряжение принимает скачком в момент коммутации значение – I ₀ R, после чего спадает по экспоненте. При большом значении сопротивления цепи разряда начальный скачок может вызвать перенапряжение на элементах цепи. Так, если закорачивающая ветвь сама имеет большое значение сопротивления R ₀ >> R (изображено штриховой линией на рис. 15.5, а), модуль начального напряжения возрастет до значения I ₀(R + R ₀), что может привести к повреждению элементов цепи.