Замечания 1.3

1. Матрица Гессе является симметрической размера (n × n).

2. Вместе с градиентом можно определить вектор антиградиента, равный по модулю вектору градиента, но противоположный по направлению. Он указывает в сторону наибольшего убывания функции в данной точке.

3. С помощью градиента и матрицы Гессе, используя разложение в ряд Тейлора, приращение функции f (х) в точке х может быть записано в форме

где о (||∆ х ||²) — сумма всех членов разложения, имеющих порядок выше второго; ∆ х ^T H (х)∆ х — квадратичная форма.

Пример 1.12. Для функции вычислить градиент и найти матрицу Гессе в точках х ⁰ = (0, 0) ^T , х ¹ = (1, 1) ^T .

Согласно определениям 1.4 и 1.5 имеем:

Определение 1. 6. Квадратичная форма ∆ х ^T H (х)∆ х (а также соответствующая матрица Гессе Н (х)) называется:

положительно определенной (H (х) > 0), если для любого ненулевого ∆ х выполняется неравенство ∆ х ^T H (х)∆ х > 0;

отрицательно определенной (Н (х) < 0), если для любого ненулевого ∆ х выполняется неравенство ∆ х ^T H (х)∆ х < 0;

положительно полуопределенной (Н (х) > 0), если для любого ∆ х выполняется неравенство ∆ х ^T H (х)∆ х ≥ 0 и имеется отличный от нуля вектор ∆ х, для которого ∆ х ^T H (х)∆ х = 0;

отрицательно полуопределенной (Н (х) ≤ 0), если для любого ∆ х выполняется неравенство ∆ х ^T H (х)∆ х ≤ 0 и имеется отличный от нуля вектор ∆ х, для которого ∆ х ^T H (х)∆ х = 0;

неопределенной (Н (х) ≷ 0), если существуют такие векторы что выполняются неравенства

тождественно равной нулю (Н (х) = 0), если для любого ∆ х выполняется ∆ х ^T H (х)∆ х = 0;

Определение 1. 7. Множество X ⊆ Rⁿ называется выпуклым, если оно содержит всякий отрезок, концы которого принадлежат X, т. е. если для любых x ¹ , x ² ∈ X и 0 ≤ λ ≤ 1 справедливо λ х ¹ + (1 – λ) х ² ∈ X.

Определение 1. 8. Функция f (х), определенная на выпуклом множестве X, называется выпуклой, если

Определение 1. 9. Функция f (х), определенная на выпуклом множестве X, называется строго выпуклой, если

Определение 1. 10. Функция f (х), определенная на выпуклом множестве X, называется сильно выпуклой с константой l > 0, если