Замечания 1.4

1. Функцию f (х) называют выпуклой, если она целиком лежит не выше отрезка, соединяющего две ее произвольные точки. Функцию называют строго выпуклой, если она целиком лежит ниже отрезка, соединяющего две ее произвольные, но не совпадающие точки.

2. Если функция сильно выпуклая, то она одновременно строго выпуклая и выпуклая. Если функция строго выпуклая, то она одновременно выпуклая.

3. Выпуклость функции можно определить по матрице Гессе:

если Н (х) ≥ 0 ∀ x ∈ Rⁿ, то функция выпуклая;

если Н (х) > 0 ∀ x ∈ Rⁿ, то функция строго выпуклая;

если Н (х) ≥ lE ∀ x ∈ Rⁿ, где Е — единичная матрица, то функция сильно выпуклая.

Пример 1.17. Дана функция f (x) = x ², определенная на множестве X = { х | –1 ≤ х ≤ 1} (рис. 1.14). Требуется исследовать ее на выпуклость.

Функция является строго выпуклой согласно п. 1 замечаний 1.4, так как она целиком лежит ниже отрезка, соединяющего две ее произвольные, но не совпадающие точки (рис. 1.14). Более того, функция одновременно является сильно выпуклой, так как согласно п. 3 замечаний 1.4 выполняется условие Н (х) = f ″(х) = 2 ≥ l при 0 < l ≤ 2. Очевидно, условия выпуклости и строгой выпуклости также выполняются (см. п. 3 замечаний 1.4), что иллюстрирует справедливость п.2 замечаний 1.4.