Изучение систем счисления, арифметических и логических операций очень важно для понимания того, как происходит обработка данных в вычислительных машинах.
Любой компьютер может быть представлен как арифметическая машина, реализующая алгоритмы путем выполнения арифметических действий. Эти арифметические действия производятся над числами, представленными в принятой для них системе счисления, в заданных форматах и с использованием специальных машинных кодов.
Изучение различных систем счисления, которые используются в компьютерах, и арифметических операций в них очень важно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в вычислительных машинах.
Системой счисления (СС) называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Система счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).
Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков, называемых алфавитом системы счисления.
|
|
Системы счисления, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе, называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:
I(1) V(5) X(10) L(50) C(100) D(500) M(IOOO)
Примеры: III(три), LIХ(пятьдесят девять), DLV(пятьсот пятьдесят пять).
Недостатками непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь исторический интерес, являются сложный способ записи чисел и громоздкие правила выполнения арифметических операций, хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и т. п.
Во всех вычислительных машинах применяется позиционная система счисления. В позиционных СС каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется ее разрядом. Число знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.
В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:
(1)
где:
Основание системы счисления N показывает, во сколько раз “вес” i- го разряда больше (i – 1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).
Пример 1. А10 = 37,25. В соответствии с формулой (1) это число формируется из цифр с весами разрядов
Теоретически наиболее экономичной системой счисления является система счисления с основанием е = 2,71828…, находящимися между числами 2 и 3.
|
|
Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено:
· более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;
· более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);
· экономичностью аппаратурной реализации всех схем ЭВМ.
При N =2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограниченно множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:
· двоичная - {0,1};
· десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0,1,2,…,9};
· шестнадцатеричная - {0,1,…,9,A,B,C,D,E,F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10, В – число 11,…, F – число 15;
· восьмеричная (от слова «восьмерик») - {0,1,2,3,4,5,6,7}. Она широко используется для специализированных ЭВМ.
Таблица 1 – Представление чисел в различных системах счисления
Двоичные числа А2 | Восьмеричные числа А8 | Десятичные числа А10 | Шестнадцатеричные числа А16 |
A | |||
B | |||
C | |||
D | |||
E | |||
F | |||
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 24 и 8 = 23. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.
Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы счисления в другую. В ЭВМ перевод из одной системы счисления в другую осуществляется автоматически по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.