Выполнение арифметических операций в компьютерах

В специальных кодах

В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Применяются прямой, обратный и дополнительный коды чисел. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ, а также при умножении и делении. Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока ЭВМ. К кодам выдвигаются следующие требования:

1) Разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой.
2) Для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд.

Например, если за основу представления кода взят один байт, то для представления числа будет отведено 7 разрядов, а для записи кода знака один разряд.

Прямой код. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.

Знаковым разрядом обычно является крайний разряд в разрядной сетке. В дальнейшем при записи кода знаковый разряд от цифровых условимся отделять запятой. Если количество разрядов кода не указано будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.

Пример. В случае, когда для записи кода выделен один байт, для числа +1101 прямой код 0,0001101, для числа -1101 прямой код 1,0001101.

Обратный код. Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

Пример. Для числа +1101 прямой код 0,0001101; обратный код 0,0001101.

Для числа -1101 прямой код 1,0001101; обратный код 1,1110010.

Дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Пример. Для числа +1101:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
0,0001101	0,0001101	0,0001101

Для числа -1101:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
1,0001101	1,1110010	1,1110011

Особенности сложения чисел в обратном и дополнительном кодах.

При сложении чисел в дополнительном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается.

При сложении чисел в обратном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах кроме знакового на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой также, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Пример. Сложить двоичные числа X и Y в обратном и дополнительном кодах.

а) X= 111, Y= -11;

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

2) Сложим числа, используя коды:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополнительном коде

Так как результат сложения является кодом положительного числа (знак 0), то

(X+Y)_обр=(X+Y)_доп=(X+Y)_пр.

б) X= -101,Y= -11;

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

2) Сложим числа, используя коды:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополнительном коде

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1), то необходимо перевести результаты в прямой код:

- из обратного кода

(X+Y)_обр=1,1110100 (X+Y)_пр=1,0001011;

- из дополнительного кода

(X+Y)_доп=1,1110101 (X+Y)_пр=1,0001010+0,0000001=1,0001011.

Таким образом, X+Y= -1011 и полученный результат совпадает с обычной записью.

Модифицированные обратный и дополнительный коды

При переполнении разрядной сетки, происходит перенос единицы в знаковый разряд. Это приводит к неправильному результату, причем положительное число, получившееся в результате арифметической операции может восприниматься как отрицательное (так как в знаковом разряде "1") и наоборот.

Например:

Здесь X и Y - коды положительных чисел, но ЭВМ воспринимает результат их сложения как код отрицательного числа ("1" в знаковом разряде). Для обнаружения переполнения разрядной сетки вводятся модифицированные коды.

В модифицированном обратном и модифицированном дополнительном кодах под знак числа отводится не один, а два разряда: "00" соответствует знаку "+", "11" - знаку "-". Любая другая комбинация ("01" или "10"), получившаяся в знаковых разрядах служит признаком переполнения разрядной сетки. Сложение чисел в модифицированных кодах ничем не отличается от сложения в обычных обратном и дополнительном кодах.

Рассмотрим предыдущий пример, выполнив сложение в модифицированном обратном коде:

Комбинация "01" в знаковых разрядах означает, что произошло переполнение и получившийся результат - неверный.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример. Даны два числа: X=101001 и Y= -11010. Сложить их в модифицированном дополнительном коде.

1) Переведем X и Y в модифицированный дополнительный код:

Обычная запись	Модифицированный обратный код	Модифицированный дополнительный код
X= +101001 Y= -011010