Временной стоимости денег

Далее рассмотрим модификацию интересующей нас модели оптимизации системы управления запасами с учетом требуемого ЛПР ограничения на некоторые интересующие его уходящие денежные потоки (на основе планирования дефицита), которая позволит учитывать временную стоимость денег, т.е. учитывать временную структуру действующих на рынке процентных ставок. А именно, пусть ЛПР задает совместное ограничение для интенсивности затрат на оплату запасов и издержек хранения. Представим алгоритм нахождения оптимальной стратегии управления запасами для такой модифицированной модели, максимизирующий интенсивность потока доходов (применительно к уходящим и приходящим денежным потокам, характеризующим работу системы) с учетом требуемых ЛПР ограничений. Учитывая то, что при различных контрактных условиях для схемы выплат издержек хранения соответствующие оптимальные стратегии управления запасами, как уже было показано в предыдущих главах, применительно к реальным ситуациям практически совпадают, дальнейшее исследование представим здесь применительно к случаю выплаты таких издержек «пренумерандо», т.е. в начале промежутка времени хранения товара (момента поставки партии i- товаров).

Для удобства изложения напомним и уточним соответствующие особенности модели и обозначения:

· N – количество анализируемых видов товаров, называемых далее i -товарами (i = 1¸ N);

· D_i – объем годового потребления соответствующего товара;

· C₀ – накладные расходы на поставку одной партии заказа;

· С_П_i – стоимость единицы товара;

· Р_П_i – прибыль от реализации единицы товара;

· С_0П_i – издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии;

· С_h_i – годовые издержки хранения единицы товара;

· q_i – размер партии заказа (оптимизируемая величина в рамках рассматриваемой модели);

· Т₀ – общий период поставки (в годах), связанный с показателями q_i равенствами Т₀ = q_i/D_i (также оптимизируемые величины);

· r – годовая ставка наращения, действующая на рынке;

· учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов.

Особенность рассматриваемой здесь оптимизационной многономенклатурной модели управления запасами, помимо соответствующей специфики учета временной стоимости издержек/доходов, а также ограничений, задаваемых ЛПР на интенсивности некоторых интересующих его уходящих потоков (из-за ограниченности доступного для ЛПР капитала), состоит также в следующем. Далее считаем, что допускается дефицит каждого вида i- товара, который должен быть покрыт при очередной поставке. Модель учитывает издержки дефицита, причем, как и ранее, они будут представлены в виде издержек или штрафов, которые зависят от длительности промежутка времени до его покрытия (формализуются в виде штрафов за каждую единицу времени дефицита для каждой единицы дефицитного товара). А именно, далее снова используем следующие обозначения:

· S_i – максимально допустимый дефицит для i- товара (параметр, подлежащий оптимизации);

· (q_i – S_i) – остаток заказа для i- товара после покрытия дефицита;

· С_В_i – издержки из-за дефицита на единицу i- товара за год (этот показатель позволяет учитывать именно такие потери из-за дефицита i- товара, которые зависят именно от длительности промежутка времени до покрытия соответствующего дефицита); напомним, что далее рассматриваем невырожденный случай анализа, когда С_В_i > 0;

· t₁_i и t₂_i – длительности промежутков времени наличия запасов и дефицита соответственно на периоде поставок T₀ для i- товара;

· γ_i = t₂_i/T₀ – доля времени наличия дефицита (оптимизируемая величина в рамках модели) для i- товара;

· (1 – γ_i) – доля времени наличия запасов (также оптимизируемая величина) для i- товара.

В рамках анализируемой модели оптимизации стратегии управления запасами при наличии задаваемого ЛПР ограничения (реализация требуемого ограничения разрешается за счет планирования дефицита) применительно к денежным потокам, характеризующим работу соответствующей системы управления запасами, как и в главе 9, принимаем следующее. Уходящие платежи соотносим с начальными моментами каждого периода времени между поставками товара (оплата поставки и выплаты издержек хранения). Приходящие платежи по товару на периодах отсутствия дефицита соотносим, в среднем, с серединами таких периодов наличия запасов. Приходящие платежи для товаров, покрывающих дефицит (с учетом соответствующих издержек дефицита) соотносим с моментом покрытия дефицита.

Кроме того, в рамках рассматриваемой здесь модификации модели управления запасами необходимо учесть требование ЛПР, обусловливаемое наличием соответствующего ограничения применительно к задаче оптимизации, которое ЛПР накладывает на максимально допустимое значение интенсивности интересующего его уходящего денежного потока. При этом рассмотрим следующий случай. Пусть ЛПР задает совместное ограничение для интенсивности уходящего потока затрат на оплату запасов и издержек хранения.

Уточним соответствующую формализацию такого ограничения для рассматриваемой модификации модели. А именно, поскольку указанные выплаты (в среднем) для одного интервала повторного заказа применительно к i -товару составляют

то с учетом длительности Т соответствующего интервала повторного заказа требуемое ЛПР ограничение на интенсивность указанного уходящего денежного потока выплат удобно задавать в следующем виде

≤ J_доп,

где J_доп – максимально допустимое значение интенсивности указанного уходящего денежного потока для ЛПР по анализируемой номенклатуре товара с учетом доступного для него капитала, причем суммирование распространяется на весь перечень анализируемой номенклатуры товаров.

На основе представленных в главе 9 соотношений, имеющих место применительно к стратегии планирования дефицита с учетом временной стоимости денег, указанное ограничение можно переписать в виде

≤ J_доп.

Наконец, напомним, что для максимизации интенсивности потока доходов выбираются оптимальные значения параметров γ_i (определяющие, как указано в главе 9, оптимальные балансы для промежутков времени дефицита и наличия i -товара, при которых максимизируется интенсивность потока доходов). Поэтому, учитывая, что

1 – γ_i = С_В_i / [ С_hi + d(C_П_i + Р_П_i)+ С_В_i ],

получаем следующее представление для интересующего нас ограничения:

,

где

¨ - скалярное произведение векторов и ;

¨ - вектор годового потребления соответствующих i -товаров;

¨ - вектор, компоненты которого в рамках рассматриваемой здесь модификации модели зависят и от стоимостей единиц i- товаров, и от издержек хранения, и издержек дефицита этих товаров, и от принятой в расчетах ставки наращения r (либо соответствующего дисконтирующего множителя d = 1/(1+r)); его координаты определяются по формулам, вполне аналогичным формулам главы 9, а именно, - по формулам

C_П_hBri = (C_Пi+C_hi)·C_Bi/[ C_h_i+d(C_П_i +P_П_i)+C_Bi], .

Соответственно в такой ситуации для параметра T_ДО* (оптимальной длительности интервала повторного заказа) при анализируемой стратегии управления запасами получаем

.

(*****)

Приведем все имеющие место денежные потоки на одном интервале повторного заказа к общему моменту времени. В частности, как и в главе 9, приведем их к моменту общей поставки партии i- товаров. После этого делим полученную их сумму (с учетом соответствующих знаков для уходящих и приходящих денежных потоков) на длительность Т такого промежутка времени. Соответствующая задача максимизации интенсивности суммарного денежного потока доходов с учетом временной стоимости денег (обозначим такую интенсивность для рассматриваемой модели с выплатой издержек хранения пренумерандо, причем с учетом указанного выше задаваемого ЛПР ограничения, через F_Н_O) после реализации указанных атрибутов анализа с учетом временной стоимости денег может быть записана следующим образом:

,

при ограничении (*****), где функция

F_НО = 1/T × [ S(q_i – S_i) × (C_П_i + P_П_i) ∙(1 – d t₁_i /2) +S S_i × (C_П_i + P_П_i) – C₀ –

– S(C_0П_i+C_П_i) × q_i – S C_В_i × S_i ×γ_i× Т /2 – S C_hi × (q_i – S_i) × t₁_i /2)]

_–

определена в области Т > 0 и q_i > 0, γ_iє [0;1], причем q_i и T связаны равенствами Т = q_i/D_i.

Упрощая вид функции F_Н_O за счет исключения слагаемых, которые не зависят от выбора параметров q_i и T, заменяя при этом переменные q_i (с учетом указанных равенств T=q_i /D) на переменную Т, а также меняя знак всего выражения на противоположный перепишем интересующую нас задачу оптимизации в следующем более компактном виде, - как задачу минимизации потерь f_НО в интенсивности потока доходов:

f_НО = 2 C₀ / T + TSD_i ×(1 – γ_i)²∙[ C_hi + d(C_П_i+Р_П_i) ] + TSD_i × γ_i ²∙ С_В_i → min

при ограничении (*****).

В соответствии с заданным ограничением длительность интервала повторного заказа при управлении запасами для рассматриваемой модификации модели не может превышать некоторой пороговой величины Т_доп:

Т_доп = .

Таким образом, учитывая найденное в главе 9 значение точки минимума (оно было обозначено там через Т^*) интересующей нас функции (применительно к ситуации, когда отсутствует ограничение (*****)) для оптимальной длительности интервала повторного заказа (обозначим ее здесь через Т^*_НО) в рамках рассматриваемой здесь модификации модели управления запасами с учетом временной стоимости денег и накладываемых ЛПР ограничений имеем:

1) если выполнено условие Т_доп ≥ Т^*, то

2) если выполнено условие Т_доп < Т^*, то

.

Другими словами, особенность процедур оптимизации стратегии управления запасами с учетом задаваемых ЛПР ограничений вида (*****) может быть формализована в интересующем нас случае вполне таким же образом, как это было сделано применительно к рассмотренной выше аналогичной ситуации без учета временной стоимости денег. А именно, подчеркнем, что в рассматриваемом здесь случае соответствующую стратегию планирования дефицита, представленную ранее в главе 9, потребуется корректировать тогда и только тогда, когда будет выполнено неравенство

Т_доп < Т^*.

При этом в указанной ситуации для снижения суммарной интенсивности анализируемых выплат J до требуемого и допустимого для ЛПР уровня J_доп необходимо (при условии сохранения оптимальных балансов для промежутков дефицита и наличия i -товаров) уменьшить длительность интервала повторного заказа и соответственно сократить размеры i- заказов (относительно их оптимальных значений q_i^* и Т^*, найденных в главе 9). Величина такой уже сокращенной длительности для интервала повторного заказа определяется значением показателя Т_доп (т.е. в указанной ситуации Т_НО^* = Т_доп), формула вычисления которого была представлена выше. Параметры q_i^* для размеров i- заказов в указанной ситуации определяются (после того, как уже найдена оптимальная длительность интервала повторного заказа) соответственно по формулам q_i^* = D_i Т_НО^*.

ВЫВОДЫ. В главе показано, что традиционные подходы к оптимизации стратегии управления запасами при наличии ограничений, накладываемых ЛПР на те или иные показатели затрат или издержек соответствующего бизнеса (например, из-за ограниченности объема доступных для ЛПР денежных средств, используемых при реализации соответствующих логистических процессов), могут быть легко реализованы и применительно к моделям управления запасами с учетом временной стоимости денег. В частности, представлены алгоритмы, которые уточняют соответствующие процедуры корректировки стратегии с учетом требований ЛПР указанного типа. Исследование представлено как применительно к моделям, в которых выполнение требуемых ограничений достигается на основе изменения частоты поставок, так и применительно к моделям с использованием стратегий планирования дефицита. Рассмотренные примеры показывают, что применительно к моделям управления запасами с ограничениями указанного типа требуемые рамками финансового анализа и финансового менеджмента соответствующие процедуры учета временной стоимости денег мало влияют на параметры оптимальной стратегии управления.