2015-06-26
6321
Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближенных вычислений является способ границ. Пользуясь этим способом, по известным верхним и нижним границам данных чисел, находят отдельно верхнюю и нижнюю границы результата.
Например, надо сложить два числа:
х ≈ 3,2 (
0,05) и y ≈ 7,9 ( 0,05).
Имеем: 3,15 < х < 3,25;
7,85 < y < 7,95;
откуда 11,00 < х + y < 11,20.
Итак, х + y ≈ 11,1 ( 0,1).
Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя – сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:
НГ(х + y) = НГ х + НГ y; ВГ(х + y) = ВГ х + ВГ y.
Аналогичные правила справедливы для умножения:
НГ(хy) = НГ х х НГ y; ВГ(хy) = ВГ х х ВГ y.
Для обратных действий – вычитания и деления - соответствующие правила имеют такой вид:
НГ(х - y) = НГ х - ВГ y; ВГ(х - y) = ВГ х - НГ y.
НГ(х / y) = НГ х / ВГ y; ВГ(х /y) = ВГ х / НГ y.
Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:
1) округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ – по избытку;
2) чем меньше разность ВГ х – НГ х, тем точнее определяется х;
|
|
|
в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГ х и ВГ х или число, близкое к нему.
Применение способа границ рассмотрим на примере.
Пример. Найти значение
если а ≈ 9,21 ( 0,01); b ≈ 3,05 ( 0,02), с ≈ 2,33 ( 0,01).
Решение. Определяем НГ и ВГ каждого из чисел а, b, с и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х.
Запись удобно оформить в виде такой таблицы [12].
| Компоненты | НГ | ВГ |
| а | 9,20 | 9,22 |
| b | 3,03 | 3,07 |
| с | 2,32 | 2,34 |
| а - b | 6,13 | 6,19 |
| (а - b) с | 14,22 | 14,49 |
| a + b | 12,23 | 12,29 |
| х | 1,15 | 1,19 |
НГ(а - b) = НГ a – ВГ b =
= 9,20 – 3,07 = 6,13;
НГ(а + b) = НГ a + НГ b =
= 9,20 + 3,03 = 12,23;
1,15 < х < 1,19;
1,15+1,19=2,34;
1,19-1,15=0,04;
2,34:2 = 1,17;
0,04:2= 0,02; х ≈ 1,17(±0,02).
