Приближенного значения величин

Абсолютное значение разности между приближенным и точным (истинным) значением величины называется абсолютной погрешностью приближенного значения. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, то получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа составит 1,214 – 1,2 = 0,014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01. *

(* Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например, 1,68 ≈ 1,7. Абсолютная погрешность равна 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02. Граничная погрешность всегда положительна).

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа «а» обозначают символом Δ а. Запись

х ≈ а ( Δ а)

следует понимать так: точное значение величины х находится в промежутке между числами а +Δ а и а –Δ а, которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают Н Г х и В Г х.

Например, если х ≈ 2,3 ( 0,1), то 2,2 < х < 2,4.

Наоборот, если 7,3 < х < 7,4, то х ≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризуют качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина.

Например, если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого измерения, в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой.

Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают её так: Δ а/а. Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах.

Например, если измерения показали, что расстояние между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 ( 0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная: