Перевод правильных дробей

Пусть мы имеем правильную (т.е. с нулевой целой частью) десятичную дробь В ₁₀. Перевести это число в систему счисления с основанием d означает, что надо найти коэффициенты b_-1, b_-2,…, b_-_m его представления в этой системе счисления. Согласно формуле (2), можно записать:

В₁₀ = b_-1 d ^-1 + b_-2 d ^-2 + …+ b_-_m d ^-^m (6)

Умножим левую часть на основание d, получим

d× В₁₀ = b_-1 d ⁰ + b_-2 d ^-1 + …+ b_-_m d ^–^m⁺¹ (7)

Учитывая, что d ⁰ = 1 формула (7) является разложением нового числа В⁽¹⁾₁₀ по степенямоснования:

d× В₁₀ = В⁽¹⁾₁₀ º (b_-1, b_-2 b_-3 … b_-_m₊₁)_d (8)

Из (8) видно, что целая часть этого числа b_-1 является первым коэффициентом крайнего слева разряда искомого представления. Таким образом мы получили следующее правило перевода правильных дробей:

Правило 2: Чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в систему с основанием d _,, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание d новой системы счисления. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

При переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. Процесс перевода можно закончить, если появится дробная часть, имеющая во всех разрядах нули, или будет достигнута заданная точность перевода, т.е. получено требуемое количество разрядов результата.

Если точность перевода равна d ^{- m}, то после m умножений на d выписываются все найденные целые части в порядке их получения.

Задача 4. Перевести десятичную дробь 0.3126 в двоичную систему счисления с точностью до 2^-4.

Решение.

- целая часть равна 0.