2015-06-26
351
Нам дано целое десятичное число A10. Перевести это число в систему счисления с основанием d означает, что надо найти коэффициенты an, an-1 ,…, a2 , a1 , a0 его представления в этой системе счисления. Согласно формуле (2), можно записать:
A10 = an d n + an-1 d n-1 + …+ a1 d 1 + a0 d 0 (3)
Учитывая, что d 0 = 1 и вынося основание за скобки, получим
A10 = (an d n-1 + an-1 d n-2 + …+ a1) d + a0 = A(1)10 d + a0 (4)
Мы получили формулу деления с остатком. Таким образом, разделив A10 на основание d, мы получим новое частное A(1)10 и остаток a0, который является коэффициентом крайнего справа разряда искомого представления. Продолжим выносить основание за скобки.
A10 = ((an d n-2 + an-1 d n-3 + …+ a2) d + a1) d + a0 = …
…
…= ((… ((an d + an-1) d + …+ a2) d + a1) d + a0 (5)
Представление многочлена (3) в виде (5) называется схемой Горнера. Из этой рекуррентной формулы сразу вытекает следующее правило перевода целых чисел в другие системы:
Правило 1: Чтобы перевести целое десятичное число в систему счисления с основанием d необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d . Последнее частное - старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d, а следующие за ней цифры - это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению.
|
|
|
Задача 3. Перевести число 2510 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Решение.
а) переводим в двоичную систему:
25: 2 = 12, остаток 1.
12: 2 = 6, остаток 0.
6: 2 = 3, остаток 0.
3: 2 = 1, остаток 1.
Последнее частное = 1 и поэтому получаем (25)10 = (11001)2.Остатки читаются снизу вверх.
Проверка:
(11001)2 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1 = (25)10.
б) переводим в восьмеричную систему:
25: 8 = 3, остаток 1.
Последнее частное = 3 и поэтому (25)10 = (31)8.
Проверка:
(31)8 = 3×81 + 1 = (25)10
в) переводим в шестнадцатеричную систему:
т.е. (25)10 = (19)16.
Проверка:
(19)16 = 1×161 + 9 = (25)10
