double arrow

Алгебры с одной бинарной операцией

Пусть на множестве М задана одна бинарная операция. Рассмотрим порождаемые ею алгебры, но предварительно рассмотрим некоторые свойства бинарных операций.

Бинарная операция * на множестве М называется ассоциативной, если a*(b*c) = (a*b)*c для всех a, b, c принадлежащих множеству М.

Бинарная операция * на множестве М называется коммутативной, если a*b = b*a для всех a, b принадлежащих множеству М. Требования коммутативности и ассоциативности независимы, т. из ассоциативности не следует коммутативность и наоборот.

Пример.

1. На множестве целых чисел n и m задана алгебраическая структура <М, *> такая, что n*m = -m – n =. Эта алгебраическая структура коммутативна, что очевидно n*m = -n – m = -m – n = m* n, но не ассоциативна:

m*(n*p) = -m - (n*p) = -m - (-n - p) = -m + n + p;

(m*n)*p = -(m*n) – p = -(- m - n) – p = m + n – p

Таким образом m*(n*p) ≠ (m*n)*p, т.е. эта алгебраическая структура не ассоциативна.

2. Рассмотрим множество Мn(R) всех квадратных матриц порядка n>1 на котором задана операция умножения Ч в обычном смысле. Так построенная алгебраическая структура ассоциативна, но не коммутативна. (докажите)

Названия свойств операций будут присваиваться и соответствующим алгебраическим структурам <М, *>, т.е. коммутативная или ассоциативная алгебраическая система или то и другое одновременно.

Рассмотрим еще один элемент e множества М, который может быть только один, если он существует на данной алгебраической структуре. Этот элемент e называется нейтральным или единичным. Он обладает свойствами: во-первых, e М, а во-вторых, для любого элемента m М выполняется равенство – 'e*М = М*e' = М, где 'e,e' - соответственно левый и правый нейтральный элемент.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: