double arrow

Группоид


Алгебра вида <М, f2>называется группоидом.

Если f2 — операция типа умножения (Ч), то группоид называют мультипликативным, если f2 - операция типа сложения (+), то аддитивным.

Пусть А = <М, f2) — группоид; обозначим операцию f2 как . Тогда элемент называется правым нейтральным элементом группоида А, если для всякого выполняется равенство т е = т ; элемент группоида А = <М, > называется левым нейтральным элементом, если для всех выполняется равенство е т = т. В этих определениях использовались выражения «все элементы», «всякий элемент». В дальнейшем для краткости вместо слов «все» или «всякий» будем использовать символ (перевернутая буква А — первая буква английского слова All — все). Если элемент е, , группоида А = <М, > является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Никакой группоид не может иметь более одного нейтрального элемента. Действительно, если

т е = е т = т и т е'=е' т=т

справедливо для всех , то

е' = е' е = е.

Если группоид <М, > мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается 1; если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и обозначается 0.

Группоид А = <М, > называется идемпотентным, если его сигнатура удовлетворяет закону идемпотентности

.

Группоид <М, >, сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

.

называется коммутативным или абелевым.

Группоид <М, >, в котором выполняется закон ассоциативности называется ассоциативным или полугруппой.

Группа

Полугруппа <М, > в которой выполнимы обратные операции: для любых каждое из уравнений , обладает единственным решением, называется группой.

Пример.

Рассмотрим понятие группы на примере группы подстановок, содержащей шесть элементов. Группу подстановок исследовал выдающийся французский математик Галуа в связи с решением уравнений в радикалах.

Подстановкой n-й степени называется взаимно однозначное отображение множества из п элементов на себя.

Рассмотрим три элемента: х1, х2, х3. Существует шесть перестановок из трех элементов (3! = 6): х1х2х3, х2х3х1, х1х2х3, х3х1х2, х2х1х3, х3х2х1. Запишем две перестановки из трех элементов друг под другом:

Эта запись означает, что х1 переходит в х2, х2 - в х3, х3в х1.

Число возможных подстановок равно числу перестановок. Введем следующие обозначения для шести возможных подстановок:

Введем операцию умножения над подстановками.

Произведением подстановок называется подстановка, получаемая в результате последовательного выполнения сначала первой, а затем второй из перемноженных подстановок. Например,

Выражение α β, α,β = а, b, с, d, е, f определяет табл. 1.1.

Таблица 1.1

α β
а b с d е f
a а b с d е f
b b а d с f е
c с е а f b d
d d f b е а с
е е с f а d b
f f d е b с а

В рассматриваемой алгебре <М, Ч> выполняется закон ассоциативности, но не выполняется закон коммутативности.


Сейчас читают про: