Алгебра вида <М, f2> называется группоидом.
Если f2 — операция типа умножения (Ч), то группоид называют мультипликативным, если f2 - операция типа сложения (+), то аддитивным.
Пусть А = <М, f2) — группоид; обозначим операцию f2 как . Тогда элемент называется правым нейтральным элементом группоида А, если для всякого выполняется равенство т е = т; элемент группоида А = <М, > называется левым нейтральным элементом, если для всех выполняется равенство е т = т. В этих определениях использовались выражения «все элементы», «всякий элемент». В дальнейшем для краткости вместо слов «все» или «всякий» будем использовать символ (перевернутая буква А — первая буква английского слова All — все). Если элемент е, , группоида А = <М, > является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.
Никакой группоид не может иметь более одного нейтрального элемента. Действительно, если
т е = е т = т и т е'=е' т=т
справедливо для всех , то
е' = е' е = е.
Если группоид <М, > мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается 1; если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и обозначается 0.
Группоид А = <М, > называется идемпотентным, если его сигнатура удовлетворяет закону идемпотентности
.
Группоид <М, >, сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности
.
называется коммутативным или абелевым.
Группоид <М, >, в котором выполняется закон ассоциативности называется ассоциативным или полугруппой.
Группа
Полугруппа <М, > в которой выполнимы обратные операции: для любых каждое из уравнений , обладает единственным решением, называется группой.
Пример.
Рассмотрим понятие группы на примере группы подстановок, содержащей шесть элементов. Группу подстановок исследовал выдающийся французский математик Галуа в связи с решением уравнений в радикалах.
Подстановкой n -й степени называется взаимно однозначное отображение множества из п элементов на себя.
Рассмотрим три элемента: х1, х2, х3. Существует шесть перестановок из трех элементов (3! = 6): х1х2х3, х2х3х1, х1х2х3, х3х1х2, х2х1х3, х3х2х1. Запишем две перестановки из трех элементов друг под другом:
Эта запись означает, что х1 переходит в х2, х2 - в х3, х3 – в х1.
Число возможных подстановок равно числу перестановок. Введем следующие обозначения для шести возможных подстановок:
Введем операцию умножения над подстановками.
Произведением подстановок называется подстановка, получаемая в результате последовательного выполнения сначала первой, а затем второй из перемноженных подстановок. Например,
Выражение α β, α,β = а, b, с, d, е, f определяет табл. 1.1.
Таблица 1.1
α | β | |||||
а | b | с | d | е | f | |
a | а | b | с | d | е | f |
b | b | а | d | с | f | е |
c | с | е | а | f | b | d |
d | d | f | b | е | а | с |
е | е | с | f | а | d | b |
f | f | d | е | b | с | а |
В рассматриваемой алгебре <М, Ч> выполняется закон ассоциативности, но не выполняется закон коммутативности.