2015-06-26
767
Лекция № 5
(лек. 2 час + прак. занят 2 час + лаб. 2 час. + самос. 2 час)
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Алгебраическая система
Алгебраической системой A называется кортеж ‹M,O,R›, первая компонента которой M есть непустое множество, вторая компонента O – множество алгебраической операций, третья компонента R – множество отношений на множестве M.
Пояснение.
1. Множество M алгебраической системы A называют несущим, или основным множеством.
2. Совокупность алгебраических операций и отношений алгебраической системы называют сигнатурой W. В этом случае алгебраическая система записывается парой ‹M, W›.
3. Алгебраическая система ‹M,O› называется универсальной алгеброй (или просто алгеброй), если на основном множестве M множество отношений R пусто (т.е. R = 
).
4. Алгебраическая система A = ‹M,R› называется реляционной системой (или моделью), если на основном множестве M заданы только отношения R (т.е. в этом случае пусто множество операций O, что означает O = ).
Примером, далее изучаемой алгебраической системы, является аксиоматическая теория множеств ‹ M, 
, -, 
› (где O = { , -} – множество из операций объединения и операций дополнения -, а R = { } – множество, состоящее из отношения включения .
|
|
|
Примером, ниже рассматриваемой алгебры является алгебра Кантора (алгебра множеств) ‹B(M), , 
›, несущим множеством которой является булеан B(A) (т.е. множество всех подмножеств данного множества U), а множеством операций O = { , , -} -, булевы операции объединения , пересечения и дополнения -.
Примером реляционной системы является метрическое пространство ‹M,P›, где P – метрика.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ
На множестве М может быть задано много различных операций. Чтобы выделить одну из них используют обычно скобки <М, *> и говорят, чтооперация * определяет на М алгебраическую структуру. Так, например, на множестве целых чисел помимо хорошо известных операций сложения и умножения целых чисел n и m можно ввести много других, например, операцию ○ суть которой состоит в следующем m○n = n m - 3n и т.п.
В зависимости от операции получаем различные алгебраические структуры: <М, *>; <М, +>; <М, Ч >; <М, ○>. Это бинарные операции, но операции могут быть в общем случае n –арными: при n = 1 – унарные, при n = 2 – бинарные, при n = 3 – тернарные и т.д. и их комбинации. Такие алгебраические структуры составляют специальную теорию универсальных алгебр. Изучение в общем виде алгебр не представляет практического интереса. Рассмотрим наиболее часто используемые алгебры, т.е. фундаментальные алгебры.
