Теорема 2 Два коллинеарных вектора являются линейно зависимыми

Базис в пространстве и на плоскости

Линейной комбинацией векторов называется =

Если существуют такие числа такие, что сумма квадратов их 0 и произведение , то вектора называется линейно зависимыми.

В противном случае вектора называются линейно независимыми

Теорема 1

Два коллинеарных вектора являются линейно зависимыми

Док-ва:

Если // , то по свойству коллинеарных векторов, = , тогда рассмотрим

,

Следствие

Два неколлинеарных вектора на плоскости являются линейно независимыми.

Теорема2

Пусть вектора и неколлинеарные, тогда любой компланарный им вектор представляется единственным образом как их линейная комбинация.

Док-ва:

На плоскости совместили начала векторов , ,

Через концы вектора проведем прямые, параллельные векторам и

Получили параллелограмм по свойству суммы векторов = +

// , //

= , =

= + вектор - это линейная комбинация векторов и

Докажем, что представляется единственным образом

Пусть существует еще одна линейная комбинация, соответствующая вектору

0 =

, т.к. вектора и 0 сумма будет = 0, если , = 0 ,