Метод координат на плоскости

Индивидуальная работа № 1 (2 семестр)

Задание 1.

1. Треугольник АВС задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Вычислить:

а) длины сторон;

б) углы;

в) площадь;

г) длины биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А;

д) радиусы и центры вписанной и описанной окружностей.

Сделайте чертеж в масштабе 1 см и проверьте результаты вычислений по чертежу (длины отрезков достаточно измерить с точностью до 0,1 см, а углы с точностью до 1^º).

Вариант 1: 1) А (-3, 3), В (3, 6), С (7, -2);

Вариант 2: 1) А (-3, 1), В (1, -7), С (7, -4);

Вариант 3: 1) А (-3, 3), В (9, 9), С (7, -2);

Вариант 4: 1) А (-1, 4), В (3, 0), С (0, -3);

Вариант 5: 1) А (3, 0), В (-1, 4), С (6, 3);

Вариант 6: 1) А (0, -3), В (6, 3), С (7, -4);

Вариант 7: 1) А (-4, -3), В (-1, 1), С (3, 21);

Вариант 8: 1) А (-6, -1), В (6, 3), С (9, -6);

Вариант 9: 1) А (0, -2), В (3, 1), С (7, -3);

Вариант 10: 1) А (3, 1), В (7, -3), С (6, 4);

Вариант 11: 1) А (0, -2), В (7, -3), С (6, 4);

Вариант 12: 1) А (0, -2), В (3, 1), С (-1, 5);

Вариант 13: 1) А (0, -2), В (-1, 5), С (6, 4);

Вариант 14: 1) А (-3, -3), В (0, 1), С (4, 21);

Вариант 15: 1) А (3, -3), В (5, -5), С (4, -2).

Примечания:

При вычислении длины биссектрисы треугольника используйте свойство: Если AD – биссектриса Ð ВАС треугольника АВС, то

BD: DC = AB: AC.

Для вычисления радиусов r и R вписанной и описанной окружностей используйте формулы:

, , где р – полупериметр треугольника.

Задание 2.

Вычислить координаты центра тяжести (масс) плоской однородной пластинки, ограниченной замкнутой ломаной линией с заданными координатами вершин в прямоугольной системе координат. Выполните чертеж.

Вариант 1. Ломаная АВСDEF; А (-1; 1), В (1; 1), С (4; 2), D (7; 4), Е (3; 6), F (0; 4).

Вариант 2. ABCDE; А (-3; 0), В (-3; -2), С (5; 0), D (1; 1), Е (0; 4).

Вариант 3. ABCDE; А (-2; 0), В (2; 0), С (5; 3), D (1; 4), Е (0; 3).

Вариант 4. ABCDEFG; А (-3; -2), В (7; -2), С (7; 2), D (4; 2), Е (4; 0), F (2; 0), G (2; 3).

Вариант 5. ABCDEF; A (-3; 0), B (0; -3), C (2; -2), D (4; 2), E (0; 3), F (-2; 2).

Вариант 6. ABCDEFGKL; A (-3; -1), B (-1; -3), C (1; -1), D (1; 1), E (-1; 1), F (-1; 3), G (1; 3), K (1; 5), L (-3; 5).

Вариант 7. ABCDE; A (-3; 0), B (0; -4), C (0; 3), D (-1; 2), E (0; 5).

Вариант 8. ABCDEF; A (-3; 0), B (-3; -3), C (0; -3), D (3; 0), E (0; 0), F (0; 3).

Вариант 9. ABCDEFGHM; A (0; 1), B (2; 1), C (2; -1), D (6; -1), E (8; 2), F (6; 5), G (2; 5), H (2; 7), M (0; 7).

Вариант 10. ABCDEF; A (-4; -1), B (5; -1), C (5; 2), D (3; 4), E (1; 2), F (-4; 2).

Вариант 11. ABCDEFG; A (-2; 1), B (0; 0), C (2; 0), D (5; -1), E (6; 2), F (3; 3),
G (0; 3).

Вариант 12. ABCDEFGНК; A (-6; -2), B (2; -2), C (2; 6), D (-4; 6), E (-4; 4),
F (-2; 4), G (-2; 2), Н (-4; 2), К (-6; 3).

Вариант 13. ABCDEFG; A (-2; 0), B (1; 1), C (4; 1), D (6; 3), E (4; 5), F (1; 5),
G (-2 4).

Вариант 14. ABCDE; A (-4; -3), B (3; -3), C (0; 2), D (3; 4), E (-4; 4).

Вариант 15. ABCDEFGН; A (5; -4), B (5; -2), C (0; -2), D (3; 1), E (5; 1), F (5; 4), G (-3; 4), Н (-3; -4).

Примечания:

При решении задачи воспользуйтесь формулой задачи № 80

(Учебник О.Н. Цубербиллер, с.28), причем m_i =1.

Задание 4.

Координаты вектора относительно данного базиса.

Вариант 1. а) Дано: АВСD – параллелограмм, , . Найти координаты векторов, определяемых сторонами и диагоналями параллелограмма относительно базиса

Вариант 2. а) Дано: треугольник АВС, точка О – центроид треугольника. Найти координаты векторов, определяемых сторонами и медианами треугольника, в базисе .

Вариант 3. а) Дано: ABCDEF – правильный шестиугольник, . Найти координаты векторов, определяемых сторонами и диагоналями шестиугольника, относительно базиса .

Вариант 4. а) Дано: квадрат АВСD; . Найти координаты векторов, определяемых сторонами и диагоналями квадрата, относительно базиса ; б) Дана треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁; точка К делит ребро СС ₁ в отношении СК: КС ₁ = 2:1. Найти координаты векторов, определяемых ребрами призмы и диагоналями ее граней относительно базиса .

Вариант 5. а) Дана трапеция АВСD с основаниями DС и АВ, причем АВ =2 DС. Найти координаты векторов, определяемых сторонами и диагоналями трапеции, относительно базиса .

Вариант 6. а) Дано: треугольник АВС; . Найти координаты векторов, определяемых сторонами и медианами треугольника относительно базиса .

Вариант 7. а) Дано: ABCD – параллелограмм; О – центр, точка F делит ребро DC в отношении DF: FC =1:2. Найти координаты векторов и относительно базиса .

Вариант 8. а) Дано: ABCDEF – правильный шестиугольник, О – его центр. Найти координаты векторов, определяемых сторонами и диагоналями шестиугольника, относительно базиса .

Вариант 9. а) Дан треугольник АВС; точка D делит сторону АВ в отношении AD: DB =1: 2. Относительно базиса найти координаты векторов, определяемых сторонами и медианами треугольника.

Вариант 10. а) В трапеции ABCD точка M лежит на основании АВ, точка N – на основании DC, причем . Относительно базиса , найти координаты векторов, определяемых сторонами и диагоналями трапеции.

Вариант 11. а) В параллелограмме ABCD точка М является серединой стороны DC, точка К делит диагональ DB в отношении DK: КB =2: 1. Найти координаты векторов, определяемых сторонами и диагоналями параллелограмма, относительно базиса .

Вариант 12. а) Дан треугольник АВС; точка К лежит на стороне СВ и делит ее в отношении СК: КВ =1: 3; точка О – центроид треугольника. Найти координаты векторов, определяемых сторонами и медианами треугольника, в базисе .

Вариант 13. а) Дан правильный шестиугольник ABCDEF, О – его центр. Введен базис . Найти координаты векторов, определяемых сторонами и диагоналями шестиугольника.

Вариант 14. а) В параллелограмме ABCD точка М делит сторону DC в отношении DM: MC =2: 1; точка К является серединой ребра АВ. Найти координаты векторов в базисе .

Вариант 15. а) В треугольнике АВС точка К делит сторону СВ в отношении СК: КВ =2: 1; точка F является серединой медианы СМ. Найти координаты векторов, определяемых сторонами и медианами треугольника, относительно базиса .

Задание 6.

Вариант 1. а) Найти угол между векторами и , если , где ; б) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если .

Вариант 2. а) Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если ; б) Вычислить площадь параллелограмма, указанного в задании а), при условии, что .

Вариант 3. а) Вычислить углы треугольника, построенного на векторах и , при условии, что и – орты, образующие угол 60^º; б) Вычислить модуль векторного произведения , если .

Вариант 4. а) Вычислить длины сторон треугольника, построенного на векторах и , если ; б) Вычислить длину векторного произведения , если , .

Вариант 5. а) Вычислить длину вектора если векторы образуют попарно друг с другом углы по 60 ^º и =3; б) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах если .

Вариант 6. а) Вычислить угол между векторами и , если ; б) Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если .

Вариант 7. а) Вычислить длину вектора если , и ; б) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если .

Вариант 8. а) Вычислить угол между векторами и , если ; б) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .

Вариант 9. а) Вычислить длины сторон треугольника, построенного на векторах и , если ; б) Вычислить длину векторного произведения , если , где , .

Вариант 10. а) Треугольник АВС построен на векторах и . Найти вектор , определяемый высотой треугольника, и вычислить его длину, если и ; б) Вычислить площадь этого треугольника.

Вариант 11. а) Вычислить длину вектора , если векторы образуют попарно углы в 60^º и ; б) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если .

Вариант 12. а) Вычислить длину медианы AN треугольника АВС, если , , ; б) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если и .

Вариант 13. а) Вычислить угол между векторами если и ; б) Вычислить модуль векторного произведения , если .

Вариант 14. а) Вычислить длину высоты ВК треугольника АВС, построенного на векторах и , где и – взаимно перпендикулярные орты; б) Найти длину векторного произведения , если .

Вариант 15. а) Вычислить длину медианы AN треугольника АВС, построенного на векторах , если ; б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах если .