2014-02-02
5173
Рассмотрим декартову систему координат, т.е. три взаимно перпендикулярных, пересекающихся в точке 0 оси 0 х, 0 у, 0 z. Пусть 
– единичные направляющие векторы этих осей и 
– произвольный вектор. Покажем, что векторы 
образуют базис. Отложим вектор от начала координат, пусть М – конец вектора , т.е. 
(рис. 2.7). Обозначим 
– проекции вектора на оси координат, 
– проекции точки М на оси координат, 
– проекцию точки М на плоскость 
. Тогда, по определению произведения вектора на число, получаем (рис. 2.7):
.
По определению сложения и равенства векторов
следовательно:
Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора. Таким образом, координатная запись вектора имеет вид:
. (2.4)
Откуда следует, что – базис.
Довольно часто вектор задается перечислением его координат, т.е. запись имеет вид: 
или 
(первая запись является более строгой, но чаще используется вторая).
Пусть 
, проекция точки А на ось 0 u имеет координату 
, а проекция точки В – координату 
, тогда по определению проекции вектора на ось
Следовательно, если
то 
Из доказанных в разд. 2.2 свойств проекций вектора на ось получаем правила сложения и умножения вектора на число в координатной форме:
По теореме Пифагора находим длину вектора (рис. 2.7):
(2.5)
Из определения произведения вектора на число следует, что если 
ненулевые коллинеарные векторы, то 
такое, что 
или
.
Отсюда получаем условие коллинеарности векторов, заданных своими координатам:
. (2.6)
Пусть 
– углы, которые вектор составляет с осями координат (рис. 2.8), тогда по формуле (2.1)
Возведя в квадрат эти равенства и сложив их, получим:
.
Кроме того, 
, т.е.
,
где 
– направляющие косинусы вектора . Координаты единичного вектора равны направляющим косинусам.
