теории пограничного слоя

1. Теплоотдача при дозвуковых скоростях.

Вторая теорема подобия гласит, что уравнения, описывающие физические процессы, могут быть представлены в виде функциональной связи между критериями подобия, например, Nu = f(RE, Pr,…). Такая связь может быть получена теоретически или экспериментально, или совокупно: теоретически – вид функции, а в эксперименте уточняются значения коэффициентов. В частности, в таких исследованиях используется теория пограничного слоя. Прежде, чем обратиться к ней, рассмотрим режимы течения и понятие пограничного слоя.

Движение среды, омывающей поверхность твердого тела, может быть ламинарным или турбулентным. Ламинарным режимом называется спокойное, без перемешивания, течение среды, при котором возможно существование стационарных траекторий выделенных частиц среды. Эти траектории повторяют профиль канала или обтекаемой поверхности. Турбулентным режимом называется течение среды с хаотично изменяющимися во времени траекториями частиц; при этом в потоке возникают нерегулярные пульсации скорости, давления и других параметров.

Если поток среды встречает на пути препятствие в виде некоторой поверхности (она может быть плоской или криволинейной), то эта поверхность оказывает возмущающее действие на параметры потока. Наибольшее воздействие ощущается вблизи обтекаемой поверхности. В связи с этим вводят понятие пограничного слоя. Прежде всего, в пограничном слое изменяются распределения скорости и температуры.

Пограничным слоем называют область течения вязкой теплопроводной среды, характеризующуюся малой (по сравнению с продольными размерами) толщиной и большим поперечным градиентом величины, определяющей перенос количества движения или теплоты. Различают динамический и тепловой пограничные слои. Пограничный слой, характеризующийся большим поперечным градиентом продольной составляющей скорости, под действием которого осуществляется поперечный перенос количества движения, называется динамическим. Если мы рассмотрим обтекание плоской пластины, то продольная составляющая скорости потока w_x будет изменяться в направлении нормали к поверхности от практически нулевой величины на поверхности до скорости невозмущенного потока w_∞ на достаточном удалении от нее. В гидродинамике принята концепция

прилипания, в соответствии с которой вследствие сцепления молекул среды с молекулами поверхности на самой поверхности скорость потока равна нулю. Толщиной динамического пограничного слоя называется условная величина, определяемая как расстояние по нормали к поверхности, на котором продольная составляющая скорости w_x достигает своего предельного значения w_∞ в невозмущенном потоке.

Аналогично, перенос теплоты в потоке осуществляется в приграничном слое за счет возмущающего действия обтекаемого тела на распределение температуры. Пограничный слой, характеризующийся большим поперечным градиентом температуры, под действием которого осуществляется перенос теплоты, называется тепловым пограничным слоем. В тепловом пограничном слое температура изменяется от температуры поверхности, которую принимает прилипающий слой среды, до температуры невозмущенного потока. Расстояние по нормали к поверхности, на котором происходит это изменение, называют толщиной теплового пограничного слоя. Толщины динамического и теплового пограничного слоев могут не совпадать. Кроме того, чем дальше поток продвигается вдоль обтекаемой поверхности, тем больше ее возмущающее действие на параметры потока. Поэтому толщины как динамического, так и теплового пограничных слоев являются функциями продольной (вдоль поверхности) координаты х.

Расчет конвективной теплоотдачи является сложной задачей, поскольку требует совместного решения уравнений Навье - Стокса, уравнения энергии и уравнения теплоотдачи. Решения удается получить лишь при введении определенных упрощений. Одно из таких упрощений было предложено Прандтлем в 1904 году. Рассмотрим его на примере ламинарного стационарного потока среды, омывающего плоскую пластину конечной длины. Омывающий поток условно можно разделить на две области: пограничный слой и невозмущенную часть потока. Пограничный слой δ(х) характеризуется наличием в нем градиента скоростей ; предполагается, что он имеет конечную толщину, причем на границе с пластиной у = 0 , а на внешней границе у = δ_д . Кроме того, поскольку на расстояниях, больших толщины пограничного слоя, скорость не изменяется, то возникает дополнительное граничное условие: .

Аналогичные предположения делаются относительно температуры на границах теплового пограничного слоя: на границе у = 0 t=t_c, на границе у =δ _т t = t_∞, и на этой же границе ; t_c – температура поверхности пластины.

Сущность теории пограничного слоя состоит в упрощении дифференциальных уравнений движения и энергии в результате применения их к ограниченной области пространства – пограничному слою. Рассмотрим х - компоненту уравнений Навье –Стокса для стационарного случая при безградиентном течении (. х - составляющая силы тяжести также равна нулю. Тогда уравнения движения и энергии имеют вид:

(1)

(2)

Так как в пограничном слое основное изменение скорости и температуры происходит в направлении нормали к поверхности, то можно считать, что

и .

Тогда уравнения (1), (2) могут быть переписаны в виде:

(3)

(4)

Здесь ν = μ/ρ – это коэффициент кинематической вязкости. Если он численно равен коэффициенту температуропроводности а, то уравнения для t и w_x идентичны. Тогда описываемые уравнениями (3), (4) поля температур и скоростей подобны. Равенство ν и а означает, что критерий Прандтля равен единице. Таким образом, критерий Прандтля определяет степень подобия гидродинамического и теплового пограничных слоев. Если Pr = 1, то δ=δ _т , если

Pr ≤ 1, то динамический пограничный слой лежит внутри теплового, если Pr ≥ 1, то тепловой пограничный слой лежит внутри динамического.

Даже в упрощенном виде решение системы (3), (4) с описанными выше граничными условиями вызывает определенные трудности и требует применения численных методов.

Другой метод – применение интегральных уравнений пограничного слоя. Эти уравнения в разное время были получены учеными: Карманом – для динамического – и Кружилиным – для теплового пограничных слоев. Они выглядят следующим образом.

(5)

(6)

Получены эти уравнения все тем же методом рассмотрения переноса количества движения и энергии через выделенный элементарный объем внутри пограничного слоя. Решение этих уравнений требует, кроме условий на границах пограничного слоя, задания предполагаемой функциональной зависимости распределения скоростей и температур в пределах пограничного слоя. Для рассмотрения теплоотдачи к уравнениям (5), (6) добавляется уравнение теплоотдачи Ньютона – Рихмана, в котором коэффициент теплоотдачи α является искомой величиной. Для пластины длиной l (вдоль направления х) бесконечных поперечных размеров безразмерный коэффициент теплоотдачи определяется как критерий Нуссельта: местный (в зависимости от х) и усредненный по всей длине . Решение интегральных уравнений пограничного слоя приводит к следующим результатам. Для ламинарного пограничного слоя:

(7)

Здесь Re_x – местное значение числа Рейнольдса, Re_l – усредненное по длине пластины число Рейнольдса. Для турбулентного режима течения в пограничном слое функциональная зависимость несколько иная:

(8)

Как мы увидим позже, вид функциональной зависимости подтверждается на экспериментах, а значения коэффициентов уточняются. Заметим, что режим течения – ламинарный или турбулентный – определяется величиной критерия Рейнольдса. При малых скоростях и больших вязкостях режим обтекания ламинарный, при увеличении скорости потока образуются вихри, режим обтекания становится турбулентным. Значение числа Рейнольдса, при котором происходит этот переход, зависит от формы обтекаемого тела. При обтекании плоской пластины режим течения можно считать ламинарным, если Re < 8*10⁴, переход к турбулентному режиму происходит при Re = 3*10⁶, а в промежутке между этими значениями режим обтекания переходный. Для переходного режима эмпирические формулы для коэффициента теплоотдачи более сложны.

2.Теплоотдача при сверхзвуковых скоростях.

2.1 Температура торможения; температура восстановления.

Необходимость изучения теплоотдачи при больших скоростях связана с развитием авиационной и ракетной техники. При высоких скоростях полета возникают две проблемы: увеличение поверхностного трения, что снижает скорость и дальность полета; возрастание температуры обшивки, что определяет выбор конструкционных материалов и защитных покрытий. Увеличение поверхностного трения приводит к выделению больших количеств теплоты за счет диссипации энергии и резкому повышению температуры газа в пограничном слое. При высоких температурах в газе происходят следующие процессы: диссоциация молекул, ионизация атомов, воздействие на поверхность обтекаемой конструкции, связанное с ее разрушением и уносом массы. Совокупность этих процессов называется абляцией. Кроме того, газ при высоких температурах уже нельзя считать несжимаемым. Сжимаемость – это способность газа менять свою плотность при изменении давления. Мерой сжимаемости является отношение динамического напора к модулю сжимаемости . Поскольку процесс протекает с большой скоростью, то его можно считать адиабатическим, поэтому , где М =w/с_зв – критерий Маха.

Нас в данном рассмотрении интересует тепловой пограничный слой, а именно его температура и теплоотдача к обтекаемой поверхности.

т.О

В системе координат, связанной с движущимся телом, на него набегает поток газа, движущийся со скоростью объекта. При встрече с препятствием поток тормозится, его кинетическая энергия переходит в тепловую, и т.к. процесс этот происходит быстро, его считают адиабатическим. Рассмотрим температуру в лобовой точке О, которая называется точкой полного торможения (после торможения в лобовой точке газ обтекает поверхность объекта).

Температурой торможения называют температуру, которую имеет газ при его полном адиабатном торможении. Оценить эту температуру мы можем, используя первый закон термодинамики для потока: Рассмотрим два поперечных сечения потока: одно – для невозмущенного газа (на бесконечности), второе – в лобовой точке О. По условию, dq =0, скорость потока на бесконечности равна w_∞, а в точке полного торможения w=0.

Рассматривая эти два сечения, получим:

Путем несложных преобразований с учетом того, что получаем

(9)

Легко видеть, что при больших сверхзвуковых скоростях температура торможения достигает больших значений.

4000 Т,К

0 2 4 6 8 10 М

Например, уже при М=5 для движения в воздухе при температуре 15 ⁰С (с_зв = 340 м/с)

Т₀ =6Т_∞=1728 К = 1455 ⁰С. Однако температура в прилегающем к омываемой поверхности пограничном слое не равна температуре полного торможения, поскольку в реальных условиях переход механической энергии в теплоту сопровождается обменом теплом и работой между смежными слоями газа. Поэтому температура газа в пристенном слое выше температуры набегающего из бесконечности потока, но ниже температуры полного торможения. Эта температура называется температурой восстановления Т_r. Обычно температура восстановления рассчитывается, исходя из коэффициента восстановления r. Коэффициентом восстановления называется безразмерное число, равное отношению:

; отсюда (10)

2.2 Распределение температуры и теплоотдача в пограничном слое.

Пусть плоская стенка омывается продольным потоком быстродвижущегося газа, температура которого на бесконечности равна Т_∞. Процесс теплообмена внутри стенки в данном случае нас не интересует. Поле температур в пограничном слое определяется выделением теплоты трения и теплообменом через стенку. Поверхность стенки может быть теплоизолированной, тогда теплообмена через стенку нет, и температура на поверхности стенки равна температуре восстановления Т_r. Тогда температура внутри пограничного слоя меняется от Т_r до температурынабегающего потока Т_∞. Возможны два других случая: «горячая» стенка, т.е. к ней подводится тепло изнутри, Т_с > Т_r и “холодная” стенка, т.е. Т_с < Т_r. Распределения температуры в пограничном слое для этих трех случаев показано на рисунке. Координата у направлена по нормали к поверхности, вдоль координаты х отложена температура.

у

δ_Т

1 – температура стенки выше температуры восстановления

2 1 2 – теплоизолированная стенка

3 3 – температура стенки ниже температуры восстановления

Т_с < Т_r Т_∞ Т_r Т_с > Т_r

В случае, если температура стенки ниже температуры восстановления, уравнение теплоотдачи к ее поверхности записывается в следующем виде:

(11)

Значение коэффициента восстановления r зависит от критерия Прандтля Pr, а оно, в свою очередь, определяется по-разному в зависимости от режима течения:

– при ламинарном течении;

– при турбулентном течении; зависимостью критерия Прандтля от температуры можно пренебречь. Из формулы (11) видно, что при невысоких скоростях, когда , она переходит в обычное уравнение теплоотдачи Ньютона-Рихмана. При этом местный безразмерный коэффициент теплоотдачи при обтекании пластины турбулентным потоком рассчитывают по формуле:

На практике иногда используются более простые формулы. Например, для авиабомбы, транспортируемой в условиях подвески, плотность теплового потока на ее поверхность рассчитывалась по формуле (11), где коэффициент восстановления r = 0,83 для ламинарного потока (при значении критерия Прандтля Pr = 0,7), а для турбулентного r = 0,89. Коэффициент теплоотдачи α получен из стендовыхиспытаний с применением теории подобия. Критерий Нуссельта ищется в виде: , а коэффициент с уточняется из экспериментов. В результате для верхней части поверхности авиабомбы в турбулентном потоке получено значение коэффициента с = 0,038, а для нижней части – с = 0,030.