Характеристики материала:
Схема сечения №4; точка приложения силы 3;
Рис. 18
Решение
1. Разбиваем фигуру на простейшие, определяем площади прямоугольников.
2. Определяем положение центра тяжести сечения относительно осей
Рис. 19
, т.к. - ось симметрии
3. Вычисляем главные центральные моменты инерции
4. Вычисляем секториальную площадь.
Заменяем двутавр расчётной схемой, совпадающей с осевыми линиями сечения. Строим эпюры координат z и y.
Рис. 20 Рис. 21
Рис. 22
Строим эпюру секториальной площади (полюс выбираем в центре тяжести сечения P = C). 0 – начало отсчета секториальной площади (совпадает с центром тяжести).
,
z y
Координаты 1 (5,75; 9,87)
точек 2 (-5,75; 9,87)
относительно 3 (8,625;-7,63)
центра 4 (-8,625;-7,63)
тяжести 5 (0; 9,87)
6 (0; -7,63)
0 (0; 0)
Рис. 23 Рис. 24
5. Определяем положения центра изгиба.
Сначала вычисляем секториально-линейные статические моменты, для этого умножаем эпюру на соответствующие эпюры координат (по способу Верещагина).
(при умножении симметричной эпюры на кососимметричную результат равен 0).
|
|
Определяем положения центра изгиба.
6. Строим эпюру главной секториальной площади (полюс помещаем в центр изгиба P = D). 0 – начало отсчета секториальной площади (совпадает с центром изгиба).
z y
Координаты 1 (5,75; 12,31)
точек 2 (-5,75; 12,31)
относительно 3 (8,625;-5,19)
центра 4 (-8,625;-5,19)
изгиба 5 (0; 12,31)
6 (0; -5,19)
0 (0; 0)
Рис. 25 Рис. 26
7. Вычисляем секториальный момент инерции .
Для этого перемножаем эпюру на эпюру . (по способу Вере-
щагина и формуле Симпсона).
8. Вычислим момент инерции при чистом кручении
, где
– меньший размер,
– размер по осям,
- для двутавра.
9. Вычислим изгибно-крутильную характеристику
Предварительно вычислим модуль сдвига:
Изгибно-крутильная характеристика:
10. Дифференциальное уравнение углов закручивания
, или
, где
– угол закручивания,
– интенсивность внешней распределённой крутящей нагрузки с учётом знака (знак «плюс» когда нагрузка стремится вращать против часовой стрелки при взгляде с положительного направления оси х)
Решение уравнения:
Произвольные постоянные зависят от граничных условий
Рис. 27
Запишем граничные условия
Для свободного торца ()
или
Для защемленного торца ()
11. Вычислим внутренние усилия. Вычисления сведем в таблицу.
Поперечная сила .
Изгибающий момент
Крутящий момент при свободном кручении
Бимомент
Крутящий момент при стесненном кручении
В случае действия на стержень сосредоточенной силы, во всех сечениях должно выполняться условие:
Рис. 28
0,4 | 0,8 | 1,2 | 1,6 | ||
-2000 | -2000 | -2000 | -2000 | -2000 | |
-800 | -1600 | -2400 | -3200 | ||
0,00 | -1,70 | -5,92 | -18,91 | -59,88 | |
-169,06 | -166,51 | -155,10 | -47,94 | 0,00 | |
-3,44 | -5,99 | -17,40 | -54,56 | -172,50 |
Рис. 29
|
|
12. Вычислим нормальные напряжения в опасном сечении ():
Для этого умножим эпюру на эпюру на и сложим их алгебраически.
Вычислим константы:
Строим эпюры нормальных напряжений
Рис. 30