Обобщением основных числовых характеристик случайной величины являются понятия моментов. Название заимствовано из механики, где эти понятия применяются для описания распределения масс.
Определение 13. Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание случайной величины .
(29)
Если - дискретная случайная величина, принимающая конечное число значений, то
(30)
Если - дискретная случайная величина, принимающая бесконечное, но счетное число значений, то
(31)
Если - непрерывная случайная величина, принимающая значение на конечном промежутке , то
(32)
Если - непрерывная случайная величина, принимающая значения на всей числовой оси, то
(33)
Начальный момент 1-го порядка - это математическое ожидание случайной величины: .
Начальные моменты высших порядков главным образом используются для вычисления центральных моментов.
Определение 14. Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое
ожидание случайной величины .
|
|
(34)
Если случайная величина - дискретная, принимающая конечное число значений, то
(35)
Если случайная величина - дискретная, принимающая бесконечное, но счетное число значений, то
(36)
Если случайная величина - непрерывная, принимающая значения на конечном промежутке , то
(37)
Если случайная величина - непрерывная, принимающая значения на всей числовой оси, то
(38)
1. Центральный момент 1-го порядка равен нулю: .
2. Центральный момент 2-го порядка - это дисперсия случайной величины: .
3. Центральный момент 3-го порядка служит характеристикой асимметрии(" скошенности") распределения.
Если распределение случайной величины - симметричное, то .
Число, которое находится по формуле:
(39)
называется коэффициентом асимметрии.
Если , то распределение имеет левостороннюю "скошенность", график плотности распределения имеет вид:
Рис.11
Тогда .
Если , то распределение имеет правостороннюю "скошенность", график плотности распределения в этом
случае имеет вид:
Рис.12
Тогда .
4. Центральный момент 4-го порядка служит характеристикой "островершинности" или "плосковершинности"
распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью эксцесса, который вычисляется по формуле:
(40)
Для наиболее распространенного нормального распределения(подробно о котором будет изложено в лекции
"Законы распределения случайных величин") . Кривая нормального распределения принята за эталон,
остальные с ней сравниваются. Для "островершинных" распределения , для "плосковершинных"
распределений (см. рис.13):
Рис.13
Пример 14. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
0,4 | 0,6 |
Найти центральные моменты 1-го, 2-го и 3-го порядков.
|
|
Решение. Сначала найдем начальный момент 1-го порядка, то есть математическое ожидание случайной
величины, получаем:.
Центральный момент 1-го порядка равен 0.
Центральный момент 2-го порядка - это дисперсия случайной величины, вычисляем ее по формуле (35):
.
Аналогично по формуле (35) вычисляем центральный момент 3-го порядка:
.
Вопрос. Центральный момент 3-го порядка , тогда коэффициент асимметрии :
а) больше нуля;
б) меньше нуля;
в) равен нулю;
г) невозможно ответить на этот вопрос.
б)
в)
г)
а)