Колебания материальной точки

1 2 3 4

Задание I

Модель процесса колебаний в общем виде показана на рисунке 8.

Рис. 1

Здесь обозначены:

1 – упругий элемент (моделируется в виде пружины);

с – коэффициент жёсткости упругого элемента;

2 – демпфер или гаситель колебаний;

b – коэффициент сопротивления возмущающей силе ;

3 – инерциальный элемент (материальная точка);

m – масса инерционного элемента (точки, тела).

В упругом элементе возникает сила упругости, которая на основании закона Гука определяется по формуле .

Сила сопротивления определяется по формуле: .

Основное уравнение динамики в векторном виде запишется как

Спроецируем основное уравнение динамики на ось х

Перенеся в левую часть значения силы упругости и силы сопротивления, а затем, разделив на массу, получим

Обозначив , имеем дифференциальное уравнение

второго порядка с правой частью

Различают:

● свободные колебания точки

a) - свободные незатухающие колебания;

b) - свободные затухающие колебания;

● вынужденные колебания точки

a) - вынужденные колебания

без учёта силы сопротивления;

b) - вынужденные колебания

с учётом силы сопротивления.

1.1. Свободные колебания объекта

Свободными колебаниями называют колебания материального объекта, выведенного из состояния равновесия мгновенно приложенной к нему силой и процесс колебания в дальнейшем предоставлен самому себе.

Поскольку исследуется свободные колебания без учета сил сопротивления, то модель процесса колебания выглядит следующим образом

(рисунок 9).

Рис. 2

Из определения свободных колебаний следует, что b= 0 и F = 0, тогда дифференциальное уравнение имеет вид

. (1)

Уравнение (1) - дифференциальное уравнение свободных не затухающих колебаний (однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами).

Для решения уравнения (1) составляют характеристическое уравнение и определяют корни этого уравнения

По корням уравнения решение дифференциального уравнения ищут в виде . (2)

Поскольку постоянные с₁ и с₂ необходимо определить, то дифференцируем первое уравнение с целью соответствия количества уравнений количеству постоянных неизвестных.

Для определения постоянных величин необходимо знать начальные условия, т.е. при нулевом значении времени должны быть известны начальное смещение тела и начальное значение скорости

. (3)

Подставляя (3) в (2), определяем постоянные интегрирования

. (4)

Подставив значения найденных констант в первое уравнение(2), имеем

. (5)

Уравнение (5) есть уравнение движения тела при свободных незатухающих колебаниях.

Если возникает необходимость определения амплитуды колебаний тела, то выразим постоянные интегрирования следующим образом

- гармоническое уравнение свободных незатухающих колебаний.

Возведя в квадрат левую и правую часть первоначального равенства и

складывая почленно, получим в результате преобразований амплитуду свободных незатухающих колебаний

Определяем - начальную фазу колебаний:

График свободных незатухающий колебаний - рисунок 3.

Рис. 3. Свободные колебания без трения

Максимальное значение колебаний имеет место

при .

Важным параметром колебаний является Т – период свободных незатухающих колебаний. Т – временной интервал, через который точка, возвращается в исходное положение с той же скоростью и движется в том же направлением, т.е. на графике – это расстояние по оси t между двумя ближайшими точками, одинаково удаленными от оси х и имеющими одинаковые фазы колебаний.

Период колебаний можно вычислить по формуле