Сечение плоскостью призмы, пирамиды, цилиндра и конуса

СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЬЮ

В заданиях на построение усечен­ных геометрических тел можно выде­лить следующие задачи: 1) построе­ние усеченного тела в системе трех плоскостей проекций; 2) определение истинной величины фигуры сечения; 3) построение развертки усеченного тела и 4) вычерчивание его аксоно­метрической проекции. Ниже помеще­ны рекомендации по решению каждой из перечисленных задач.

Вначале по положению секущей плоскости определяют вид фигуры се­чения и в зависимости от формы гео­метрического тела выбирают прием построения проекций сечения. В зада­ниях секущие плоскости занимают проецирующее положение, поэтому одна проекция сечения задается. Не­достающие проекции фигуры сечения призмы или пирамиды строят по точ­кам пересечения их ребер с заданной плоскостью. Если же плоскость пере­секает поверхность вращения по ле­кальной кривой, то начинают с определения ее характерных точек.

Например, фронтально проецирующая плоскость Р (рис. 106) пересекает цилиндр по не­полному эллипсу. Его характерными точками являются: 1) А и В — точки, принадлежащие линии пересечения плоскости Р с основанием цилиндра; 2) С — конец большой оси эллипса; 3) D и Е — концы малой оси эллипса и они же точки, лежащие на очерковых образующих ци­линдра Последовательность нахождения точек эллипса указана стрелками на примере проме­жуточных точек 1 и 2.

Рис. 106

Истинную величину фигуры сече­ния определяют с помощью способа перемены плоскостей проекций или вращения. Если применяют способ перемены плоскостей проекций, то дополнительную плоскость задают параллельно секущей плоскости. Дополнительную плоскость совмещают с основной плоскостью проекций так, чтобы новая проекция сечения не наложилась на имеющиеся проекции. При использовании способа вращения ось вращения целесообразно распола­гать в секущей плоскости и на неко­тором расстоянии от тела.

Для примера показано положение оси вра­щения U (рис. 107) при определении истинной величины сечения четырехугольной призмы фронтально проецирующей плоскостью Р.

Рис. 107

Построение развертки усеченного тела начинают с вычерчивания раз­вертки его полной боковой поверхно­сти. Далее на нее наносят линии се­чения и пристраивают к ней остальные части развертки — основания и фигуру сечения. Если какие-либо элементы, необходимые для построения разверт­ки, на проекциях искажены, то пред­варительно определяют их истинную величину.

Рис. 108

Например, для построения развертки пра­вильной усеченной четырехугольной пирамиды (рис. 108) необходимо определить истинную ве­личину фигуры сечения — треугольника ADE и длину одного из ее боковых ребер, например ребра SB. Для определения истинной величины этих элементов их поворачивают до положения, параллельного плоскости V. Треугольник ADE повер­нут вокруг оси U, а ребро SB — вокруг высо­ты пирамиды. Далее строят развертку согласно рекомендациям в следующем порядке: задают положение вершины S; вычерчивают развертку полной боковой поверхности пирамиды; наносят на нее линии сечения DE и AE с помощью от­резков SE = = s^′e′₁ = L₂ и DC = dc; пристраивают к ребру основания АВ фигуру усеченного основания— четырехугольник ABCD = abcd и к его стороне AD — треугольник ADE = a′₁e′₁ d′₁.

Усеченные тела на аксонометриче­ской проекции вначале вычерчивают целыми. Далее изображают проекцию сечения и контурными линиями обво­дят усеченную часть тела.

Рис. 109

Для примера на рис. 109 вычерчена изо­метрическая проекция конуса, усеченного фронтально проецирующей плоскостью Р по параболе. Параболу на изометрической проекции начинают строить с ее вершины А. Эту точку получают с помощью координаты— х_А. Проекции нижних точек параболы В и С строят по координате х_{В, С}. Соединив точку А с серединой отрезка ВС, получают проек­цию оси симметрии параболы. Для построе­ния ее промежуточных точек откладывают по оси конуса от его основания отрезки, равные координатам z_1,2, z_3,1, z_5,6. Через концы от­ложенных отрезков проводят прямые, па­раллельные оси координат X, до пересечения с осью симметрии параболы. Через получен­ные точки проводят хорды параболы, которые параллельны ее нижней хорде ВС. Длину каждой хорды замеряют на горизонтальной проекции усеченного конуса и откладывают на соответствующей хорде изометрической проекции.

Задание 23. Усеченные геомет­рические тела. Построить заданные усеченные геометрические тела (приз­му, пирамиду, цилиндр, конус) в си­стеме трех плоскостей проекций, опре­делить истинные величины фигур се­чения, вычертить развертки усеченных тел и их аксонометрические проекции. Вид аксонометрической проекции ука­зан в табл. 13.

Таблица 13

Изображение каждого геометриче­ского тела располагают на листе фор­мата A3.

Образцы выполненного задания с разными вариантами оформления приведены на рис. 110—113.

Рис.110

Рис. 111

Рис. 112

Рис. 113

Работу над заданием следует на­чинать с компоновки чертежа, которая довольно трудоемка из-за большого количества изображений. Габариты горизонтальной, фронтальной, про­фильной и аксонометрической проек­ций тела подсчитывают по заданным проекциям. Размеры сечения и раз­вертки определяют приблизительно или делают на черновике нужные по­строения.

Сократить работу с предлагаемым за­данием можно, уменьшив число геометрических тел или упростив содержание задания. Например, отказаться от вычерчивания аксо­нометрической проекции тела или не строить его развертку.