Видимости (задача №2)

Известно, что для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо определить либо две точки, общие для этих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения. Рассмотрим частные случаи пересечения плоскостей.

Пример 4.1. Построить линию пересечения TR плоскостей α (a∩b) и γ (γ ^ П₁); α ∩ γ = TR (рис. 4.1).

Так как плоскость γ – плоскость проециру-ющая, то горизонтальная проекция линии пересе-чения T₁R₁ совпадает с вырожденной горизонталь-ной проекцией плоскости γ, то есть T₁R₁ совпадает со следом γ₁(γ₁≡T₁R₁). Следовательно, чтобы опре-делить точки, общие для двух плоскостей, необхо-димо найти точки пересечения следа γ₁ с горизон-тальными проекциями a₁ и b₁ прямых a и b, задаю-щих плоскость α; γ₁∩a₁=(•)T₁, γ₁∩b₁=(•)R₁. Далее, по линиям проекционной связи строим фронталь-ные проекции T₂ и R₂ точек T и R, принадлежа-щих, соответственно прямым a₂ и b₂. Соединив од-ноимённые проекции точек T₂ и R₂, получаем фро-нтальную проекцию T₂R₂ линии пересечения TR двух заданных плоскостей, α ∩ γ = TR.

Пример 4.2. Построить линию пересечения t плоскости α (AC∩AB) и плоскости γ (γ││П₁); α ∩ γ = t (рис. 4.2).

Анализ чертежа показывает, что пря-мая AB занимает частное положение, то есть является горизонталью плоскости α, (AB││П₁). Так как заданная плоскость γ также занимает положение, параллельное плоскости П₁, то линия t – линия пересече-ния заданных плоскостей должна быть параллельна горизонтали AB заданной плоскости α и проходить через общую то-чку 1.

Нахождение этой точки не вызывает затруднений, так как плоскость γ, являясь плоскостью частного положения, задана вы-рожденной фронтальной проекцией, то есть следом γ₂. Следовательно, фронтальная проекция 1₂ общей точки 1, принадлежащая заданной плоскости α и плоскости γ, будет определяться как точка пересечения следа γ₂ с фронтальной проекцией A₂C₂ прямой AC, γ₂ ∩ A₂С₂ = (•)1₂.

Горизонтальная проекция 1₁ точки 1 принадлежит горизонтальной проекции A₁С₁ прямой AC. Горизонтальная проекция t₁ линии пересечения пройдёт через горизонтальную проекцию 1₁ точки 1 и должна быть параллельна горизонтальной проекции A₁B₁ прямой AB, (t₁││A₁B₁).

Пример 4.3. Построить линию пересечения двух плоскостей обще-

го положения.

Пусть в пространстве за-даны две плоскости общего по-ложения α и β (рис. 4.3). Для определения общих точек, при-надлежащих линии пересече-ния, необходимо заданные пло-скости пересечь двумя вспомо-гательными плоскостями-по-средниками частного положе-ния.

В качестве таких плос-костей целесообразно взять плоскости проецирующие, или плоскости уровня. На рис. 4.3 первая вспомогательная плоскость уровня γ пересекает каждую из данных плоскостей по горизонталям 1-2 и 3-4, которые, взаимно пересекаясь, определяют точку T, общую для плоскостей α и β, а значит принадлежащую линии их пересечения.

Пересекая заданные плоскости α и β второй вспомогательной плоскостью δ, расположенной так же параллельно плоскости П₁, получим ещё одну точку R, общую для плоскостей α и β. Эта точка определяется пересечением горизонталей 5-6 и 7-8, по которым вспомогательная плоскость δ пересекает каждую из данных плоскостей. Соединив точки T и R, получим искомую линию пересечения TR = α ∩ β.

Описанный метод использован для эпюрного построения проекций линии пересечения двух плоскостей общего положения, первая из которых α задана двумя пересекающимися прямыми a и b, а вторая β – треугольником ABC; α(a ∩ b) ∩ β(ABC)=TR.

При решении задачи используем в качестве вспомогательных секущих плоскостей плоскости, занимающие ча-стное положение в пространстве, а именно горизонтальные плоскости уро-вня. Так, с помощью вспомогательной плоскости γ найдена точка T, в которой пересекаются горизонтали 1-2 и 3-4.

Некоторых упрощений на эпюре можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Так, в рассматриваемом примере целе-

сообразно провести вторую секущую плоскость δ (δ ││П₁) через сторону AB, которая является горизонталью плоскости β. С помощью плоскости δ определена вторая точка R линии пересечения. Eё горизонтальная проекция R₁ найдена на пересечении горизонтальной проекции 5₁-6₁ линии 5-6 и горизонтальной проекции A₁B₁ линии AB.

Соединяя одноимённые проекции найденных точек T и R, получим проекции искомой линии пересечения заданных плоскостей α ∩ β = TR.

Необходимо обратить внимание студентов на то, что если вспомогательные плоскости параллельны между собой, то есть γ ││ δ, то одноимённые проекции линий пересечения заданных плоскостей и вспомогательных должны быть соответственно параллельны, то есть 1₁-2₁││5₁-6₁, а 3₁-4₁││A₁B₁.

Пример 4.4. Построить линию пересечения двух треугольников и указать их относительную видимость.

На эпюре (рис. 4.5) заданы две плоскости общего положения α(QEF) и β(MNR). Линию пересечения плоскостей можно построить, применяя к решению задачи проецирующие плоскости-посредники. Причём, проецирующие плоскости целесообразно проводить через стороны любого из треугольников. Этот приём ве-дёт к упрощению графическо-го решения задачи на эпюре.

Чтобы выявить через какую из сторон рациональ-нее проводить эти плоскости, необходимо по эпюру опреде-лить, какие стороны одного треугольника пересекают плоскость другого треуголь-ника, а точки пересечения не выходят за контуры ни одного из треугольников. Эпюрным признаком существования та-кой точки, например, для стороны QF и плоскости тре-угольника MNR, является из-менение её видимости в ок-рестностях двух пар конкурирующих точек 7-8 и 5-6 (см. рис. 4.5).

Перечислив стороны двух треугольников (QE, QF, EF и MR, MN, NR), следует исключить из этого списка стороны, которые имеют хотя бы

одну свою проекцию, лежащую в стороне от контуров другого треугольника, поскольку эти стороны не меняют своей видимости. На рис. 4.5 видно, что проекции сторон E₂F₂ и M₂R₂ лежат вне контуров треугольников. Следовательно, их точки пересечения находятся вне заданных треугольников, а сами стороны (EF и MR) необходимо исключить из списка сторон, через которые целесообразно проводить плоскости-посредники. Далее, из четырёх оставшихся (MN, NR, QE, QF) сторон надо выбрать две, через которые целесообразно проводить плоскости посредники.

Для этого выполним анализ видимости сторон одного треугольника относительно плоскости другого. Для определения видимости стороны QF относительно плоскости треугольника MNR, выделим на QF и MN конкурирующие точки 7 и 8 (рис. 4.5). Если смотреть на QF и MN спереди (по направлению стрелки S), то из двух точек 7 и 8, видна будет (•)8, удаление которой от плоскости П₂ больше, так как Y₈>Y₇. Точка 8 принадлежит стороне QF, следовательно, на плоскости П₂ сторона QF окажется видимой в окрестности этой пары точек, а MN – невидимой. Обозначим эту сторону на П₂ видимым штрихом (рис. 4.5).

Аналогично определяется видимость сторон QF и NR в окрестности второй пары конкурирующих точек 5 и 6. Из рис. 4.5 видно, что точка 6 на плоскости П₂ будет видимой (Y₆>Y₅), а следовательно, и сторона QF, которой принадлежит точка 5 будет невидимой. Выполненный таким образом анализ показывает, что в окрестности точек 6 и 5 сторона QF поменяла свою видимость (на рис. 4.5 этот факт зафиксирован невидимым штрихом). Это значит, что сторона QF пересекает плоскость треугольника MNR в пределах его контура, а потому первую плоскость-посредник δ следует проводить через сторону QF.

На рис. 4.5 сторона QE между парами точек 3,4 и 1,2 не меняет своей видимости, поэтому сторону QE можно исключить из списка претендентов на заключение в плоскость-посредник. Так же из рис. 4.5 следует, что сторона NR между парами точек 5,6 и 1,2 меняет свою видимость и это позволяет провести через сторону NR вторую вспомогательную плоскость-посредник τ.

Следует отметить, что плоскости-посредники можно задавать как через стороны одного треугольника, так и через стороны другого. Возможно использование двух горизонтально-проецирующих или двух фронтально-проецирующих плоскостей, либо одну плоскость-посредник брать перпендикулярно плоскости П₁, а вторую – перпендикулярно плоскости П₂.

Так, при решении данного примера (см. рис. 4.6) точка L линии пересечения определена с помощью посредника – фронтально-проецирующей плоскости τ, проведённой через сторону NR треугольника MNR. Плоскость

τ пересекает плоскость треугольника QEF по прямой 1-5, а плоскость треугольника MNR по стороне NR, через которую плоскость τ проходит и, следовательно, NR строить не надо.

Покажем построение прямой (1-5). Точки 1 и 5 опре-делятся, как точки пересечения сторон QE и QF треугольника QEF с проецирующей плоскос-тью τ. Их фронтальные проек-ции 1₂ и 5₂ строятся как точки пересечения τ₂ с Q₂E₂ и Q₂F₂, то есть (•)1₂=τ₂∩Q₂E₂, а (•)5₂=τ₂∩Q₂F₂. Горизонтальные проекции 1₁ и 5₁ находим по линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях Q₁E₁ и Q₁F₁.

Построенная прямая (1-5) и сторона NR треугольника MNR, как прямые, лежащие в плоскости посредника τ, пере-секутся между собой в точке L, принадлежащей линии пересе-чения (L₁=(1₁-2₁)∩N₁R₁), а L₂ находится по линии связи на прямой N₂R₂. Аналогично, заключая сторону QF в горизонтально-проецирующую плоскость δ(δ₁≡Q₁F₁), определяется точка L¢.

Точки L и L¢ являются точками пересечения сторон одного треугольника с плоскостью другого, то есть линия LL¢ есть линия пересечения заданных плоскостей α∩β=LL¢.

Заметим, что точки L и L¢, могут быть определены и как точки пересечения прямых NR и QF, соответственно, с плоскостями треугольников QEF и MNR, для чего необходимо реализовать следующий алгоритм. Например, для определения точки L=NR∩QEF: 1) NRÎτ (τ ^ П₂, τ₂≡N₂R₂); 2) τ∩α=(1-5); 3) NR∩(1-5)= (•)L.

Для определения относительной видимости заданных треугольников после построения линии их пересечения, достаточно установить расположение одной из сторон треугольника относительно скрещивающейся с ней стороной другого треугольника, другими словами, вопрос об относитель-

ной видимости плоскостей сводится к установлению видимости двух скрещивающихся прямых. Видимость на каждой проекции определяется отдельно путём сопоставления положения конкурирующих точек, в которых проецирующий луч пересекает каждую из рассматриваемых скрещивающихся прямых относительно плоскостей проекций.

Так, для определения видимости на фронтальной проекции, луч зрения (см. рис. 4.6 и 4.7) проведён перпендикулярно к плоскости П₂ через две конкурирующие относительно П₂ точки скрещивающихся прямых QE и NR, то есть, соответственно, через точки 1 и 2. Так как по направлению луча сначала встретим точку 1, принадлежащую прямой QE (Y₁>Y₂), то на фронтальной плоскости проекций прямая QE будет видима, а прямая NR на участке от точки 2₂ до точки L₂ – невидима.

Для определения видимости на горизонтальной проекции, луч зрения следует провести перпендикулярно к плоскости П₁ через две конкурирующие относительно П₁ точки скрещивающихся прямых (например, луч , проходящий через точки 10 и 11, соответственно, принадлежащие прямым MR и QF, см. рис. 4.6). Анализ показывает, что горизонтальная проекция Q₁F₁ видима до точки , так как луч на фронтальной проекции сначала встретит фронтальную проекцию 11₂ точки 11 (Z₁₁>Z₁₀), принадлежащей прямой QF, а затем фронтальную проекцию 10₂ точки 10, принадлежащей прямой MR. (Для большей наглядности одну из заданных плоскостей рекомендуется заштриховать).