Эквивалентные бесконечно малые

Пусть нужно найти значение предела функции при , и при этом

и , то есть функции являются бесконечно малыми.

Функции и называются бесконечно малыми одного порядка, если

и

эквивалентными бесконечно малыми, если

Важно, что эквивалентные бесконечно малые функции могут заменять друг друга при вычислении пределов функций.

Таблицу эквивалентных бесконечно малых функций можно составить по известным действиям с первым и вторым замечательными пределами:

Из первого замечательного предела следует, что

Из второго замечательного предела

Пример 1. Вычислить предел .

Из таблицы эквивалентных бесконечно малых очевидно, что , то есть и , и .

Следовательно,

Пример 2. Вычислить предел .

Из таблицы эквивалентных бесконечно малых следует, что

, и .

Следовательно,

Пример 3.

Для приведения выражения к бесконечно малым нужно выполнить замену переменной

,

тогда функция примет вид:

На основе замены функций на эквивалентные бесконечно малые можно записать:

и .

И тогда