Непрерывность функции в точке. Эквивалентные бесконечно малые

Доказательство.

Доказательство.

Эквивалентные бесконечно малые

Сравнение бесконечно малых.

Пусть и – бесконечно малые функции.

Бесконечно малая называется:

а) бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с бесконечно малой при (=о(), если

;

б) одного порядка малости с при, если

;

в) несравнимой с при, если не существует.

Примеры эквивалентных бесконечно малых функций при:

1) sin x ~ x;

2) tg x ~ x;

3) ln(1+ x) ~ x;

4) 1-cos x ~ x ²/2;

5) a^x –1~ x ln a;

6) ~ x / k.

Доказательство:

1. sin x ~ x при

(первый замечательный предел).

2..

3..

4. =

=

=.

5..

6..

Теорема 1: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций ~ является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с каждой из них.

Доказательство. Пусть и – эквивалентные бесконечно малые функции при. Тогда

–1=0 – =о()

().

Теорема 2: Если для бесконечно малых функций справедливо: ~, ~ при и существует предел, то

=.

= =.

Теорема 3: Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка малости.

Пусть в сумме бесконечно малых функций различных порядков + + слагаемое низшего порядка при, тогда

=1+ + =1.

Что и требовалось доказать.

Данные теоремы применяются для нахождения пределов.

Пример: = =1.

Пусть имеются числовое множество Е R, функция R, точка аЕ.

Функция f (х)называется непрерывной в точке а, если

>0 >0:.

Пусть функция у = f (х)определена в точке х ₀ и ее окрестности. Если аргумент х получит приращение ∆ х в точке х ₀, то есть х = х ₀+∆ х – новое значение, то функция получит приращение ∆ у. Новое значение функции будет у ₀+∆ у = f (х ₀+∆ х), а приращение функции ∆ у = f (х ₀+∆ х)– f (х ₀) (рис.15).

y=f (x)

x

x 0

x0+ Δ x

f(x0+ Δ x)

f(x0)

O

Δ x

Δ y

у

Рис. 15

Функция f (х)называется непрерывной в точке х ₀, если

1) она определена в точке х ₀ и ее окрестности;

2).

Функция f (х)называется непрерывной в точке х ₀, если

1) она определена в точке х ₀ и ее окрестности;

2).

Непрерывные функции обладают следующими свойствами.

Свойство 1: Если функция f (х)непрерывна в точке х ₀, то она ограничена в некоторой ее окрестности.

Доказательство.

Пусть (конечный предел), тогда >0, в частности =1 такая окрестность, что, т.е. для всех выполняется:

Иначе говоря, что для всех справедливо неравенство: a- 1 <f(x)<a +1.

Это доказывает ограниченность функции в окрестности т.. Доказано.

Свойство 2: Если функция f (х)непрерывна в точке и, то функция f (х)сохраняет знак в некоторой окрестности точки.

Доказательство.

Если функция f(x) непрерывна в т. и (соответственно), то такая окрестность: точки, что для всех точек выполняется неравенство: (соответственно). Это доказывает, что функция сохраняет знак в некоторой окрестности точки.

Свойство 3: Если функции f (х)и g (х)непрерывны в точке а, то функции f ± g, f ∙ g, f / g () непрерывны в точке а.

Доказательство.

Если конечные пределы и, то конечные пределы, и, если, то и предел:.

Непрерывность функции в точке означает существование у нее в этой точке конечного предела, равного значения функции в этой точке.

Свойство 4: Пусть функция R непрерывна в точке а, функция R () непрерывна в точке f (а),тогдафункция g◦ f непрерывна в точке а.

Функция f (х)называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Множество функций, непрерывных на множестве Х, объединяют в класс и обозначают С [ Х ].

Пример: или -множество функций непрерывных на отрезке.