double arrow

Непрерывность функции в точке. Эквивалентные бесконечно малые


Доказательство.

Доказательство.

Эквивалентные бесконечно малые

Сравнение бесконечно малых.

Пусть и – бесконечно малые функции.

Бесконечно малая называется:

а) бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с бесконечно малой при ( =о( ), если

;

б) одного порядка малости с при , если

;

в) несравнимой с при , если не существует.

Примеры эквивалентных бесконечно малых функций при :

1) sinx ~ x;

2) tgx ~ x;

3) ln(1+x) ~ x;

4) 1-cosx ~ x2/2;

5) ax–1~ xlna;

6) ~ x/k.

Доказательство:

1. sinx ~ x при

(первый замечательный предел) .

2. .

3. .

4. =

=

= .

5. .

6. .

Теорема 1:Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций ~ является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с каждой из них.

Доказательство. Пусть и – эквивалентные бесконечно малые функции при . Тогда

–1=0 – =о( )

( ).

Теорема 2:Если для бесконечно малых функций справедливо: ~ , ~ при и существует предел , то

= .

= = .

Теорема 3:Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка малости.

Пусть в сумме бесконечно малых функций различных порядков + + слагаемое низшего порядка при , тогда




=1+ + =1.

Что и требовалось доказать.

Данные теоремы применяются для нахождения пределов.

Пример: = =1.

Пусть имеются числовое множество Е R, функция R,точка аЕ.

Функция f(х)называется непрерывной в точке а , если

>0 >0 : .

Пусть функция у=f(х)определена в точке х0 и ее окрестности. Если аргумент х получит приращение ∆х в точке х0, то есть х=х0+∆х – новое значение, то функция получит приращение ∆у. Новое значение функции будет у0+∆у = f(х0+∆х), а приращение функции ∆у = f(х0+∆х)– f(х0) (рис.15).

y=f(x)
x
x 0
x0+Δx
f(x0+Δx)
f(x0)
O
Δx
Δy
у

Рис. 15

Функция f(х)называется непрерывной в точке х0, если

1) она определена в точке х0 и ее окрестности;

2) .

Функция f(х)называется непрерывной в точке х0, если

1) она определена в точке х0 и ее окрестности;

2) .

Непрерывные функции обладают следующими свойствами.

Свойство 1: Если функция f(х)непрерывна в точке х0, то она ограничена в некоторой ее окрестности.

Доказательство.

Пусть (конечный предел), тогда >0, в частности =1 такая окрестность , что , т.е. для всех выполняется:

Иначе говоря, что для всех справедливо неравенство: a-1<f(x)<a+1.

Это доказывает ограниченность функции в окрестности т. . Доказано.

Свойство 2: Если функция f(х)непрерывна в точке и , то функция f(х)сохраняет знак в некоторой окрестности точки .

Доказательство.

Если функция f(x) непрерывна в т. и (соответственно ), то такая окрестность: точки , что для всех точек выполняется неравенство: (соответственно ). Это доказывает, что функция сохраняет знак в некоторой окрестности точки .



Свойство 3: Если функции f(хg(х)непрерывны в точке а, то функции f ±g , f ∙ g , f / g ( ) непрерывны в точке а.

Доказательство.

Если конечные пределы и , то конечные пределы , и, если , то и предел: .

Непрерывность функции в точке означает существование у нее в этой точке конечного предела, равного значения функции в этой точке.

Свойство 4: Пусть функция Rнепрерывна в точке а, функция R( ) непрерывна в точке f(а),тогдафункция g◦ f непрерывна в точке а.

Функция f(х)называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Множество функций, непрерывных на множестве Х, объединяют в класс и обозначают С[Х].

Пример: или -множество функций непрерывных на отрезке .







Сейчас читают про: