Функция распределения случайной величины

Функцией распределения (интегральной функцией) случайной величины называется функция действительной переменной , определяемая равенством: , где – вероятность того, что случайная величина принимает значение меньшее . Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности значений ее функции распределения в концах этого промежутка .

Свойства функции распределения:

1. Все значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е. . Это следует из определения функции распределения и свойств вероятности.

2. Функция распределения является неубывающей, т.е. если , то .

3. Функция в точке непрерывна слева, т.е. при любом .

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю: .

5. Если возможные значение случайной величины принадлежат интервалу то:

а) при ;

б) при .

Следствие: если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения: ; .

График функции распределения целиком расположен в полосе между прямыми

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (дифференциальной функцией распределения) называется функция , равная производной интегральной функции распределения: . График функции называется кривой распределения.

Вероятностью попадании непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от до : .

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины , принимающей все свои значения на отрезке , называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е.