Означення. Матрицею розміром n×m називається прямокутна таблиця чисел
Означення. Матриці A =(aij) та B =(bij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij = bij для всіх значень i та j).
Означення. Сумою двох матриць A =(aij) та B =(bij) з однаковою кількістю рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де
cij=aij+bij (i =1,…, m; j =1,…, n). (1.1)
Означення. Добутком матриці A =(aij) на число k називається матриця B=k×A вигляду B=k×A =(k×aij).
Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).
Означення. Квадратна матриця E =(eij) називається одиничною, якщо
,
тобто ця матриця має вигляд
.
Означення. Матриця O називається нульовою, якщо всі її елементи є нулями: .
Означення. Добутком матриці на матрицю називається матриця , елементи якої обчислюються за формулою
(1.2)
Приклади.
1. Нехай та .
Тоді , , .
2. Нехай, крім того,
та .
Тоді ,
D×C - не має сенсу,
|
|
Зазначимо, що в останньому прикладі А×В ¹ В×А.
Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:
Е×А = А×Е = А (властивість множення на одиничну матрицю);
О×А = А×О = О (властивість множення на нульову матрицю);
k×O = O×k = O A+O = O+A =A;
a(bA) = (ab)A; (Aa)b = A(ab);
A+B = B+A (комутативна властивість додавання);
A+(B+C)=(A+B)+ C (асоціативна властивість додавання);
(a+b)A = aA+bA;
a(AB) =(aA)B;
(A+B)C = AC+BC; C(A+B) = CA+CB.
Означення. Матрицею AT, транспонованою до матриці , називається матриця .
Виконуються такі властивості:
(AB)T = BTAT;
(aA+bB)T = aAT+bBT;
(AT)T = A.
Частковим випадком матриці є вектор (упорядкована послідовність чисел). Розрізняють вектор-рядок (матрицю-рядок) та вектор- стовпець (матрицю-стовпець) .
Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення матриць:
,
.
Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1, d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:
Вироби | Кількість вузлів | Вузли | Кількість деталей | ||||
v1 | v2 | d1 | d2 | d3 | |||
W1 | v1 | ||||||
W2 | v2 |
Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із виробів W1 та W2.
На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей облислюється як добуток матриць
.
Отриманий результат такий:
Вироби | Кількість деталей | ||
d1 | d2 | d3 | |
W1 | |||
W2 |
Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.
Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:
|
|
Таблиця A
Виріб | Затрати робочого часу на робочих місцях, год. | |||
W1 | 0,8 | 2,1 | 1,2 | 3,0 |
W2 | 1,3 | 0,5 | 2,8 | 0,2 |
W3 | 1,1 | 1,0 | 2,5 | 1,8 |
Таблиця B
Замовлення | Кількість виробів | ||
W1 | W2 | W3 | |
Z1 | |||
Z2 | |||
Z3 |
Таблиця C
Робоче місце | Погодинна заробітна плата, грн. |
1,30 | |
1,25 | |
1,40 | |
1.45 |
Помноживши матрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих місцях щодо кожного замовлення:
Замовлення | Затрати робочого часу на робочих місцях, год. | |||
Z1 | 16,4 | 33,1 | 21,8 | |
Z2 | 5,4 | 10,4 | 9,8 | 15,6 |
Z3 | 8,5 | 14,6 | 15,3 | 20,2 |
Справді, .
Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:
Замовлення | Витрати на зарплату |
Z1 | 120,52 |
Z2 | 56,36 |
Z3 | 80,01 |
Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:
.
Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на рисунку 1.1:
Виріб
4 3 10 15
Комплектуюча Комплектуюча Деталь Деталь
K1 K2 D1 D2
2 3 4 5
D1 D2 D1 D2
Рис. 1.1.
Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.
Побудуємо відповідні матриці.
Матриця входжень деталей у комплектуючих: . Тут рядки відповідають деталям, а стовпці комплектуючим.
Безпосереднє входження деталей у виробі – це вектор , а входження комплектуючих у виробі – вектор .
Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою
.
Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D 1 та 42 деталі D 2.
Означення. Нехай A=(aij)i=1,…,n;j=1,…, n ‑ квадратна матриця. Оберненою до неї матрицею A- 1 називається матриця, для якої має місце
A×A-1=A-1×A=E.
Якщо обернена до A матриця існує, то (A- 1 )- 1 =A.
Приклад.
Нехай . Тоді .
Справді,
,
.
За допомогою оберненої матриці можна розв’язувати системи лінійних рівнянь, оскільки запис
є рівнозначний до запису
, де
Розв’язок системи знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену матрицю A -1:
,
, (1.3)
.
Відшукання оберненої матриці досить складна математична задача. Проте дії над матрицями реалізовані у багатьох комп’ютерних системах. Зокрема, в системі EXCEL обчислення оберненої матриці реалізується за допомогою так званої функції масиву MINVERSE, а множення матриць –за допомогою функції масиву MMULT (зазначимо, що функція масиву, на відміну від звичайної функції, вводиться одночасним натисканням трьох клавіш – Shift, Ctrl та Enter).
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Барковський В., Барковська Н. Математика для економіста. – К., 1997.‑ Т.1‑3.
2. Бугір М. Математика для економістів. – Тернопіль, 1998.
3. Михайленко В., Федоренко Н. Математичний аналіз для економістів. – К., 1999.
4. Нікбахт Е., Гроппелі А. Фінанси. ‑ К., 1993.
5. Nicholson R.N. Mathematics for Business and Economics. ‑ 1986.
6. Завада О. Методичні вказівки до виконання контрольних робіт
з курсу “Математика для економіста”. – Львів, 2000.