Матричные модели

К моделям подобного рода мы приходим, если в ходе решения сталкиваемся с системой линейных алгебраических уравнений. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа a_ij, и называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами, а x_j – неизвестные.

Такую систему удобно записывать в матричной форме:

A ∙ X = B

Здесь А – матрица (прямоугольная таблица) коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

,

– вектор-столбец из неизвестных x_j,

– вектор-столбец из неизвестных b_i.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-столбцом, или вектор-строкой соответственно).

Умножение матриц осуществляется только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы A _m×n = (a_ij) на матрицу B _n×p = (b_jk) называется матрица C _m×p = (c_ik) такая, что:

, где и .

Это означает, что элемент i -й строки и k -го столбцы матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы k -го столбца матрицы B. Получение элемента c_ik схематично можно изобразить так:

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен 1, называется единичной (обозначается буквой E).

Определитель матрицы (детерминант, det) – это многочлен от элементов квадратной матрицы. Методы его вычисления детально рассматриваются в курсе высшей математики. Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель не равен нулю, в противном случае она называется вырожденной.

Для произвольной квадратной матрицы A порядка n рассмотрим определитель:

,

где E – единичная матрица, а λ – действительное переменное. Относительно переменного λ этот определитель является многочленом степени n и может быть записан в виде:

Многочлен называется х арактеристическим многочленом матрицы А, определяющим ее собственные значения. А уравнение – характеристическим уравнением матрицы A. Собственные значения матрицы являются его корнями.