Тема 4. Поняття виробничої функції (ВФ) та її економічний зміст. Види ВФ

Виробнича функція (ВФ) є економіко-статистичною моделлю процесу виробництва продукції в даній економічній системі й виражає закономірну, відносно стійку кількісну залежність між показниками, що характеризують обсяги ресурсів і випуску продукції.

Об'єктом моделювання щодо ВФ є процеси виробництва продукції в реально функціонуючих протягом певного відрізку часу господарських системах на підприємстві (фірмі), в галузі, регіоні чи в народному господарстві загалом. Відповідно, щодо рівня модельованої системи виробничі функції поділяються на макроекономічні, регіональні, галузеві, а також виробничі функції підприємства.

У теорії виробничих функцій виробничий процес аналізується з погляду перетворення ресурсів у продукт (продукцію). Входами є потоки ресурсів різноманітного виду, повністю чи частково використовувані у виробництві, виходом – готова до реалізації продукція. Функціонуючі в системі ресурси (чинники), технологія та умови організації виробництва визначають потенційні можливості та стан процесу (системи).

ВФ будується для розв'язання певних економічних задач, що стосуються аналізу, прогнозування й планування (у вузькому розумінні слова). Використовуються ВФ як самостійно, так і в складі більш загальних економіко-математичних моделей. Мету побудови ВФ можна охарактеризувати як аналіз чинників щодо суттєвого впливу їх на обсяги випуску продукції.

До найбільш поширених типів виробничих функцій, що використовуються як на мікро – так і на мікрорівні, належать уже відома нам степенева функція (функція Кобба - Дугласа)

виробнича функція із сталою еластичністю заміщення (CES-функція, назва якої походить від англійського терміну constant elasticity of substitution)

виробнича функція з постійними пропорціями (виробнича функція Леонтьєва)

лінійна виробнича функція

2. Функціональні та структурні моделі ВФ. Етапи побудови ВФ.

Нехай - вектор випуску продукції, - вектор максимально допустимих об’ємів виробничих ресурсів,

- технологічна матриця, що складається з невід’ємних елементів (матриця питомих виробничих затрат продукції і на випуск одиниці продукції j),

- вектор питомих оцінок випущеної продукції. В залежності від змісту вектора с можна по різному конкретизувати мету досліджуваного виробничого об’єкта. Будемо вважати, що с – вектор питомих доходів від реалізації продукції.

Тоді метою виробника є максимізація агрегованого продукту, яким є сумарний дохід < c, Враховуючи вказану мету та технологічні обмеження, пов’язані з наявним вектором виробничих ресурсів х, прийдемо до наступної задачі:

де Y(x) = .

Вважаючи вектор х параметром, легко переконатися в тому, що задача лінійного програмування (6.1) неявно задає функцію

яка кожному ставить у відповідність невід’ємне значення < c, де - розв’язок задачі (6.1) при заданому х. Функція визначена в області Ø .

Проблема побудови виробничих функцій, які у функціональній формі формалізують залежність результату виробництва від виробничих ресурсів, що забезпечують при вибраній технології функціонування виробничого процесу, належить до розряду актуальних. При побудові таких функцій можна виділити два основних підходи: економетричний (статистичний) і структурний. Ці підходи відповідають двом типам моделей економічних об’єктів – функціональними і структурному. Властивості функції можна дослідити за допомогою її неявного задання. виявляється, що ця функція є угнутою (опуклою вгорі), неперервною у всіх внутрішніх точках області задання, монотонно неспадною по кожному з компонентів вектора х, додатно однорідною першого степеня і в загальному випадку кусково-лінійною.

Метод побудови функції уявному аналітичному вигляді базується на результатах теорії двоїстості для задач лінійного програмування. Двоїстою буде задача:

де .

Для того, щоб виписати функцію у явному аналітичному вигляді, потрібно знайти вершини множини , визначити області лінійності даної функції, що відповідають кожній з вершин та сформувати шукану аналітичну залежність, користуючись критерієм оптимальності розв’язку задачі (6.3) і умова двоїстості для задач (6.1) і (6.3). Визначення вершин множини зводиться до знаходження опорних розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь

де - допоміжний невід’ємний n – невимірний вектор (у випадку, коли матриця А не має жодного базисного вектора – стовпця).

Опорні розв’язки системи можна знайти методом Жордана–Гауса, в якому провідний елемент вибирається за допомогою симплексних перетворень. Якщо - множина всіх вершин множини , які можуть бути оптимальними для задачі (6.3), то функція (6.2) має вигляд

де - згадані вище під області лінійності функції.

3. Основні властивості та характеристики виробничих функцій.

Розрізняють такі три групи характеристик виробничої функції:

1. Характеристики нульового порядку. Серед характеристик цієї групи можна виокремити середню фондовіддачу та середню продуктивність праці і середню норму заміщення ресурсів , де

; .

Значення в точці показує обсяг продукції, що припадає на одиницю основних фондів, величина характеризує фондомісткість.

Значення в точці показує обсяг продукції, що припадає на одного працівника, величина характеризує працемісткість продукції.

Значення визначає середнє значення обсягу основних фондів, які припадають на одного працівника. Ця характеристика називається фондоозброєністю праці.

Значення визначає середнє значення кількості працівників на одиницю основних фондів. Ця характеристика називається працеозброєністю фондів.

2. Характеристики першого порядку. До цієї групи входять такі:

Ця характеристика називається граничною продуктивністю і -го ресурсу та наближено показує, на скільки зміниться обсяг випуску при зміні і -го ресурсу на одиницю (за умови, що ).

Відповідно для ресурсу характеристика визначає граничну продуктивність праці, — граничну фондовіддачу.

.

Ця характеристика називається еластичністю випуску по і- му ресурсу. Її значення в точці наближено показує на скільки відсотків зміниться обсяг випуску при зміні обсягу і -го ресурсу на один відсотків.

.

Характеристика називається граничною нормою заміщення і- го ресурсу j- м ресурсом, значення якого в точці визначає, на скільки приблизно треба збільшити (зменшити) використання j- горесурсу, щобскомпенсувати відповідну зміну обсягу випуску, що спричинено зменшенням (збільшенням) і- горесурсу на одиницю.

3. Характеристики другого порядку. Серед характеристик цієї групи виділимо еластичність заміщення ресурсів, яка визначає відносні показники заміщення ресурсів.

Виробничу функцію називають однорідною степеня g, якщо При функція буде лінійно-однорідною.

Залежно від степеня однорідності виробничої функції, початкових умов при визначенні значення еластичності, тобто положення початкової точки на ізокванті виробничої функції, та інших факторів, існує декілька підходів до означення еластичності заміщення ресурсів виробничої функції.

Розглянуті вище основні характеристики виробничої функції відображають властивості агрегованої економічної технології і можуть бути поширені на виробничі функції з будь-яким числом змінних.

4. Макроекономічні ВФ та їх властивості.

Виробнича функція(ВФ) відображає залежність результату виробництва від витрат ресурсів.

Як ресурси (чинники виробництва) на макрорівні здебільшого розглядаються накопичена (уречевлена) праця у формі виробничих фондів (капітал) K і поточна (жива) праця L. А як результат — валовий випуск X (валовий внутрішній продукт Y чи національний дохід N). У всіх випадках результат узагальнено називатимемо випуском і позначатимемо через X.

Отже, модель економіки можна подати у формі, взагалі кажучи, нелінійної ВФ:

X = F (K, L), ,

тобто випуск продукції є функцією від затрат ресурсів (фондів і праці).

Далі аналізуватимемо основні характеристики ВФ на прикладі неокласичної мультиплікативної ВФ (зокрема функції Кобба — Дугласа).

Виробничу функцію X = F (K, L) називають неокласичною, якщо вона є гладкою і задовольняє умови, які мають обґрунтовану економічну інтерпретацію:

1) F (0, L) = F (K, 0) = 0 — за відсутності одного з ресурсів виробництво є неможливим;

2) — зі зростанням обсягів ресурсів зростає й випуск;

3) — зі зростанням обсягів ресурсів швидкість зростання випуску знижується. Ця закономірність відома як закон спадної граничної продуктивності ресурсів;

4) F (+¥, L) = F (K, +¥) = +¥ — за необмеженого зростання обсягів одного з ресурсів випуск також необмежено зростає.

Мультиплікативна ВФ задається виразом:

де А — коефіцієнт нейтрального технічного прогресу; α₁, α₂ — коефіцієнти еластичності за фондами K і працею L відповідно. Частковим випадком неокласичної мультиплікативної ВФ є функція Кобба — Дугласа:

ВФ має властивість 1: за відсутності одного з ресурсів виробництво неможливе.

Мультиплікативна функція задовольняє також властивість 2, що є адекватним реальній економіці: зі зростанням витрат ресурсів випуск також зростає, тобто

оскільки , оскільки .

З рівностей випливає, що за a₁ < 1, a₂ < 1 граничні віддачі чинників є меншими від середніх. За цих умов мультиплікативна функція має властивість 3, що часто спостерігається у реальній економіці: зі зростанням витрат ресурсу його гранична віддача спадає.

Мультиплікативна функція має властивість 4, тобто за необмеженого зростання обсягу одного з ресурсів випуск також необмежено зростає. Таким чином, мультиплікативна функція з параметрами 0 < a₁ < 1, 0 < a₂ < 1 є неокласичною.