Решение геодезического четырехугольника

1.1. Исходные данные

Плановое обоснование для разбивки на местности опор мостового перехода выполнено методом геодезического четырехугольника, схема которого представлена на рис. 1. Опорные точки 5, 6, 11 и 12 закреплены на местности по типу временных геодезических знаков в виде столиков для установки теодолита. На каждой точке измерены углы электронным теодолитом 3Та5р, значения которых указаны на рис. 1. Среднеквадратическая погрешность измерения одного угла (паспортная точность теодолита) составляет m = ± 5". На этом же рис.1 в кружках обозначены номера углов № 1,2,3,4,5,6,7,8, в квадратиках номера треугольников № 1, 2, 3, и стороны буквами A,B,C,D,E,F. Для определения допуска на угловую погрешность устанавливается коэффициент значимости t = 1,96 ≈ 2,0, который ограничивает величину фактической погрешности измерений в 95%.

Дирекционный угол линии 5-6 (α₅₆), длина линии A (d ₅₆) и координаты опорной точки 6 (X₆, Y₆). принимаются каждым студентом индивидуально по номеру варианта (табл. 1), назначаемому преподавателем.

Рис. 1 Схема геодезического четырехугольника

1.2. Уравнивание углов, вычисление сторон и координат

Уравнивание углов (табл. 2), вычисление сторон (табл. 3) и координат (табл. 4) геодезического четырехугольника выполнить в стандартных ведомостях.

Уравнивание углов. В соответствии с исходными данными (см. рис. 1) в ведомость уравнивания углов (см. табл. 2, колонка 2) выписать углы измеренные. При этом использовать нумерацию углов рис. 1 и соответствующую нумерацию углов в табл. 2 (колонка 1).

Вычислить сумму восьми измеренных углов () и фактическую угловую невязку δ_ф по условию полигона. Оценить точность угловых измерений, сопоставив фактическую и допустимую (δ_доп) угловые невязки. При этом использовать следующие формулы:

(1)

где n – количество измеренных углов;

t – коэффициент значимости (см. выше “исходные данные”);

m – паспортная точность теодолита, используемого для измерения углов, (см. выше “исходные данные”).

Если δ_ф ≤ δ_доп, то продолжить вычисления.

Вычислить суммы углов (см. рис. 1)

β₁+β₂; β₅+β₆; β₃+β₄; β₇+β₈.

Вычислить невязки f₁ и f₂ по формулам:

. (2)

По данным вычисления невязок f₁ и f₂ выполнить оценку точности измерения углов, используя формулы (1). Если каждая невязка f₁ и f₂ меньше или равна соответствующей допустимой невязке, то продолжить вычисления.

Вычислить поправки в углы по формулам:

. (3)

где n₁, n₂ и n₃ – количество углов использованных при вычислении соответствующей невязки f₁, f₂ и δ_ф.

Причем, поправки v₁ в углы β₁, β₂ принять со знаком минус, в углы β₅, β₆ – со знаком плюс, и поправки v₂ в углы β₃, β₄ – со знаком плюс, в углы β₇, β₈ – со знаком минус. Поправки v₃ во все углы принять со знаком противоположным знаку невязки δ_ф.

Таблица 2

Уравнивание углов

№ угла	Углы измеренные, β ° ' "	Суммы (1+2) (5+6) (3+4) (7+8)	Невязки f1= β (1+2) - β (5+6) f2= β (3+4) - β (7+8)	Поправки	Углы уравновншенные β ° ' "	№ угла
По условиям β (1+2) = β (5+6) β (3+4) = β (7+8). ± f1/ 4 ± f2/ 4	По условию ∑ β (1-8) = ∑ β т - δ /8	Суммарные поправки, v∑
	33 54 38	97 08 40	f1 = 97 08 40 - 97 08 36 = + 0 00 04	-1,0	+0,875	-0,125	33 54 37,9
	63 14 02	-1,0	+0,875	-0,125	63 14 01,9
	46 40 17	97 08 36	+1,0	+0,875	+1,875	46 40 18,9
	50 28 19	+1,0	+0,875	+1,875	50 28 20,9
		f1(доп) =±mt =±2*2 = ±8"	∑ 0,0		∑ +3,500	β (1+2) = 97 08 39,8 β (5+6) = 97 08 39,8
	62 35 20	82 51 17	f2 = 82 51 17 -82 51 20 = - 0 00 03	+0,75	+0,875	+1,625	62 35 21,6
	20 15 57	+0,75	+0,875	+1,625	20 15 58,6
	31 15 26	82 51 20	-0,75	+0,875	+0,125	31 15 26,1
	51 35 54	-0,75	+0,875	+0,125	51 35 54,1
		f2(доп) =±mt =±2*2 = ±8"	∑ 0,00	∑ +7,000	∑ +3,500	β (3+4) = 83 51 20,2 β (7+8) = 83 51 20,2
∑ β (1-8)	359 59 53					∑ +7,000	∑ β (1-8)=360 00 00
δф = ∑ β (1-8) - ∑ β т δф =359 59 53–360 00 00 = - 0 00 07 δдоп = ± m t = ±2*2 = ± 11,3"

Таблица 3

Вычисление сторон (решение треугольников)

№ треу-голь-ника	№ точки	№ угла	Уравновешенные углы, β ° ' "	Sin углов Sin β	Вычисленная длина сторон, d, м	Поправки в длины сторон, м	Исправлен-ная длина сторон, d, м	Обозначение сторон
		6+7	81 43 47,0	0,98960054	492,480		492,480	А
		51 35 54,1	0,78367569	390,000	0,000	390,000	E
		46 40 18,9	0,72743652	362,013	0,000	362,013	F
			180 00 00,0
		2+3	125 49 23,5	0,81082695	492,480	0,000	492,480	A
		20 15 58,6	0,34638358	210,386	0,000	210,386	C
		33 54 37,9	0,55789761	338,856	+0,001	338,857	D
			180 00 00,0
			50 28 20,9	0,77131889	338,856	+0,001	338,857	D
	4+5	66 56 17,5	0,92008283	404,211	+0,001	404,212	B
		62 35 21,6	0,88772970	389,998	+0,002	390,000	E
			180 00 00,0

f_d = E₃ – E₁ = 389,998 - 390,000 = -0,002 м

v_E = - f_d = +0.002; v_D = v_B = = +0,001 м

Таблица 4

Ведомость вычисления координат точек опорной сети

№ то-чек	Углы исправ-ленные ° ' "	Дирек-ционные углы ° ' "	Исправ-ленные стороны d, м	Вычисленные прирашения координат, м	Поправки, м	Исправленные приращения координат, м	Координаты, м	№ то-чек
∆X	∆Y	δX	δY	∆X	∆Y	X	Y
	прав
		21 55 18,0
	46 40 18,9									2954,980	5068,740
		155 14 59,1	390,000	-354,175	163,279			-354,175	163,279
	50 28 20,9									2600,805	5232,019
		284 46 38,2	404,212	103,099	-390,842	+0,001		103,100	-390,842
	296 45 58,1									2703,905	4841,177
		168 00 40,1	210,386	-205,797	43,702			-205,797	43,702
	326 05 22,1									2498,108	4884,879
		21 55 18,0	492,480	456,871	183,862	+0,001	-0,001	456,872	183,861
										2954,980	5068,740
∑ β	720 00 00,0		∑ d =1497,078	∑∆X= -0,002	∑∆Y= + 0,001	∑ δX= + 0,002	∑δY= -0,001	∑∆X = 0,000	∑∆Y= 0,000
∑ β т	720 00 00,0			fx = - 0.002	fy = +0.001
			f (абс) = ± 0.002
				f (отн, доп) =

Все вычисленные поправки округлить точностью до 0,1". Учитывая знаки соответствующих поправок вычислить суммарные поправки для каждого угла v_∑ = v₁ + v₃; v_∑ = v₂ + v₃.

Исправить измеренные углы β_испр = β_изм + v_∑, при этом необходимо учитывать знаки суммарных поправок. Вычисления выполнить с точностью 0,1".

Выполнить контрольные вычисления сумм поправок и сумм углов. Данные уравновешивания углов и контрольных вычислений записать в табл. 2 в соответствующие колонки и строки (см. табл. 2).

Вычисление сторон (решение треугольников). По номерам указанным в квадратиках (см. рис. 1) определить номера треугольников и нумерацию их вершин. В соответствии с номером треугольника установить последовательность их записи в ведомость вычисления сторон (см. табл. 3). Для каждого треугольника в ведомости вычисления сторон (см. табл. 3) установить последовательность нумерации точек, которая должна начинаться с номера угла напротив известной стороны А (см. рис. 1), затем продолжаться номером угла напротив промежуточной стороны и заканчиваться номером угла напротив связующей стороны (стороны принадлежащей двум последовательным треугольникам). Из ведомости уравнивания углов (см. табл. 2) в ведомость вычисления сторон (см. табл. 3) в третью колонку выписать уравновешенные углы. Причем необходимо выписать углы в соответствии с их нумерацией указанной в колонке 2 табл. 3. В случае указанной суммы углов произвести их суммирование. Для каждого треугольника (см. рис. 1) вычислить контрольные суммы углов, которые должны быть точно равны 180°. Установить синусы всех углов треугольников с точностью до 0,000000001.

В соответствии с вариантом решения задачи (см. табл. 1) в ведомость вычисления сторон (см. табл. 3) в соответствующие строки и колонки выписать численное значение исходной стороны A (см. рис.1). В ведомости вычисления сторон (см. табл. 3) последовательно, начиная с первого треугольника, вычислить промежуточные и связующие стороны по формуле:

, (4)

где d_выч – вычисляемая сторона треугольника;

d_исх – исходная (известная) сторона треугольника (для первого и второго треугольника сторона А, см. рис. 1 и табл. 3);

Sin β_выч – синус угла треугольника, находящегося напротив вычисляемой стороны (см. табл. 3);

Sin β_исх – синус угла треугольника, находящегося напротив известной стороны (см. табл. 3).

Вычисления по формуле (4) сторон (см. рис. 1) E и F в первом треугольнике и сторон C и D во втором треугольнике выполнить по известной исходной стороне А (см. рис. 1 и табл. 3). Вычисление сторон B и E в третьем треугольнике выполнить по стороне D, значение которой установлено из вычислений во втором треугольнике. Сопоставить численные значения стороны E установленные по вычислениям в первом (E₁) и третьем (E₃) треугольнике. Принять за вероятнейшее значение стороны Е, численное ее значение (E₁), полученное из первого треугольника. В этом случае невязку установить по формуле:

f_d = E₃ – E₁. (5)

Вычислить поправки для сторон E и B третьего треугольника и для стороны D третьего и второго треугольников по формулам (см. табл. 3):

v_E = - f_d; и v_B = v_D = . (6)

Вычислить исправленные стороны по формуле:

d_испр = d_выч + v_d (7)

Данные вычислений записать в соответствующие графы и колонки табл. 3.

Вычисление координат. Исходными данными для вычисления координат точек опорной сети в стандартной ведомости (см. табл. 4) являются уравновешенные углы (см. табл. 2), исходный дирекционный угол (α ₅₆), принимаемый в соответствии с вариантом решения задачи (см. табл. 1), вычисленными длинами сторон (см. табл. 3) и координатами исходной точки 6, принимаемыми в соответствии с вариантом решения задачи (см. табл. 1).

В первую очередь необходимо принять последовательность нумерации точек. Для этого можно использовать следующие варианты (см. рис.1):

5→6→12→11→5→6; (8)

5→6→11→12→5→6. (9)

В качестве примера решения задачи в настоящих методических указаниях принят вариант по последовательности (8) (см. табл. 4).

Из ведомости уравнивания углов (см. табл. 2) в ведомость вычисления координат (см. табл. 4) выписать левые по принятому варианту последовательности нумерации точек уравновешенные углы. Углы будут левыми, если мысленно встать на предыдущую точку, например 5, и повернувшись лицом по направлению последующей точки (точки 6) на этой последующей точке угол будет слева по ходу. В противном случае углы будут правыми. Например, для последовательности (8) углы будут левые, а для последовательности (9) – правые.

Проверить правильность выписки углов путем их суммирования. При этом, поскольку на двух (m = 2) точках 11 и 5 необходимо вычислять левые по ходу углы, как дополнения до 360°, то теоретическая сумма углов будет равна:

. (10)

По принятому варианту решения задачи из табл. 1 в ведомость вычисления координат выписать исходный дирекционный угол (α ₅₆), который записать в соответствующие строки колонки 3 (см. табл. 4).

Вычислить дирекционные углы остальных линий хода по формуле:

для левых углов, принятых по последовательности точек (8)

α_посл = α_пред + β_лев - 180°; (11)

или для правых углов, если принята последовательность точек (9)

α_посл = α_пред + 180° - β_прав. (12)

Если при вычислении по формуле (11) α_пред + β_лев < 180°, то использовать формулу: α_посл = α_пред + β_лев + 360° - 180°;

и если α_пред + β_лев - 180° > 360°, то α_посл = α_пред + β_лев - 180° - 360°.

Если при вычислении по формуле (12) α_пред + 180° < β_прав, то использовать формулу: α_посл = α_пред + 180° + 360° - β_прав;

и если α_пред + 180° - β_прав > 360°, то α_посл = α_пред + 180° - β_прав - 360°.

Контролем правильности вычисления дирекционных углов служит критерий точного равенства вычисленного дирекционного угла α ₅₆, при последовательном вычислении по формулам (11) или (12) и того же угла, записанного как исходного для линии 5-6 в нижней строке третьей колонки табл. 4.

Из ведомости вычисления сторон (см. табл. 3.) в ведомость вычисления координат (см. табл. 4, колонка 4) по принятой последовательности вычислений (8) или (9) выписать соответствующие стороны. Вычислить приращения координат по формулам:

∆X_i = d_i Cos α_i; (13)

∆Y_i = d_i Sin α_i. (14)

Подсчитать в соответствующих колонках табл.4

∑ d_i; ∑ ∆X_i; ∑ ∆Y_i

и вычислить невязки по осям координат:

f_x = ∑ ∆X_i - ∑ ∆X_Т; (15)

f_y = ∑ ∆Y_i - ∑ ∆Y_Т, (16)

где ∑ ∆X_Т = ∑ ∆Y_Т = 0.

Вычислить абсолютную погрешность:

(17)

и, наконец, относительную погрешность, которая должна удовлетворять неравенству

. (18)

В случае выполнения неравенства (18) можно продолжить вычисления. В противном случае проверить правильность выписки сторон из ведомости их вычисления или правильность вычислений по формулам (13), (14) или вычисления сумм ∑ d_i; ∑ ∆X_i; ∑ ∆Y_i, а также вычисления по формулам (15), (16), (17) и (18).

Определить поправки в приращения координат v_x и v_y с точностью 0,001 метра. При этом необходимо использовать следующие принципы: знаки поправок должны быть обратными по отношению к знаку невязок, вычисленных по формулам (15), (16); большие численные значения поправок v_x и v_y должны соответствовать большим численным значениям сторон (d) полигона; сумма поправок ∑ v_x или ∑ v_y должна быть равна с обратным знаком соответствующим невязкам f_x или f_y. Если быть точным, то поправки необходимо вычислять по формулам:

, (19)

при точном выполнении условий

∑ v_x = - f_x; ∑ v_y = - f_y. (20)

Однако вычисления по формулам (19) небольших численных значений невязок приводят к поправкам, которые могут иметь значащую цифру только в четвертом или пятом разряде после запятой. Такие поправки для практической цели не имеют смысла. Поэтому необходимо выдержать требование округления поправок с точностью 0,001 метра и выше сформулированные принципы. Это достигается путем введения поправок равных 0,001 м в приращения координат только для тех сторон, которые имеют большие численные значения. Для других приращений координат поправки будут равны нулю. В любом случае при определении поправок должны выполняться условия (20).

Вычислить исправленные приращения координат:

∆X_испр = ∆X_выч + v_x; (21) ∆Y_испр = ∆Y_выч + v_y. (22)

Вычислить координаты точек опорной сети:

X_посл = X_пред + ∆X_испр (23)

Y_посл = Y_пред + ∆Y_испр (24)

Контролем вычисления координат опорной сети является следующее правило: координаты последней точки (исходной), вычисленные при использовании формул (23) или (24), должны быть точно равны координатам той же исходной точки.