Задача о замене оборудования

Пусть планируется эксплуатировать оборудование в течение некоторого периода времени продолжительностью n лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход r(t). При этом возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t) и купить новое оборудование за цену P. Под возрастом оборудования понимают период эксплуатации оборудования после последней замены, определенных в годах.

Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы наибольшим, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составляет t₀ лет.

Исходными данными в задаче является доход r(t) от эксплуатации в течении одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования t₀.

t			…	n
r	r(0)	r(1)	…
S	S(0)	S(1)	…	S(n)

Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за годы с k по n года будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага.

Переменной управления на каждом шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений:

Функцию Беллмана F_k(t) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с к по n, если к началу каждого возраст оборудования составлял t лет:

Для k = n .

В результате безусловной оптимизации определяются годы, вначале которых следует произвести замену оборудования.

Пример 33. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период 6 лет, если годовой доход и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице. Стоимость нового оборудования P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял один год.

t
r(t)
S(t)

Решение. Условная оптимизация.

k = 6.

F6
r(t)
S(t) – P + r(0)						-1
max
С/З	С	С	С	С	С	С

Реализация в EXCEL приведена на рис. 23. Для подсчета последней строки используется команда:

ЕСЛИ(И(C13 = C11;C13 =C 12);"С/З";ЕСЛИ(C13 = C11;"С";"З"))

Рис. 23. Экранный вид первого шага

Аналогично строятся остальные шаги: k = 5

F5
r(t)
r + F6
S(t) – P + r(0) + F6(1)
max
С/З	С	С	С	С	С

F4
r(t)
r + F5
S(t) – P + r(0) + F5(1)
max
С/З	С	С	С/З	С/З

F3
r(t)
r + F4
S(t) – P + r(0) + F4(1)
max
С/З	С	С	З

F2
r(t)
r + F3
S(t) – P + r(0) + F3(1)
max
С/З	С/З	С

F1	r(t)	r + F2	S(t) – P + r(0) + F2(1)	max	С/З
					С

Результаты сведены в таблице. В таблице выделено значение – замена оборудования

k/t
			23

Безусловная оптимизация.

k = 1 и F₁(1) = 37 с сохранением оборудования, следовательно к началу второго года возраст оборудования t₂ = t₁ + 1 = 2; k = 2, Х₂(2) = с; k = 3, Х₃(3) = з, т.е. необходимо заменить оборудование; k = 4, Х₄(1) = с; k = 5, Х₅(2) =с; k = 6, Х₆(3) = с. Т.е., за 6 лет эксплуатации оборудования, замену нужно произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.