2015-06-28
2371
Требуется распределить инвестиции B среди n предприятий, доход gi(xi) от которого, в зависимости от количества вложенных средств х i, определяется матрицей:
| х g | g1 | g2 | ... | gn |
| х1 | gi(x1) | g2(x1) | … | gn(х1) |
| х2 | gi(x2) | g2(x1) | … | gn(х2) |
| х3 | gi(xn) | g2(x1) | … | gn(х3) |
Определить 
(х1*, х2*, …, хn*), удовлетворяющее условиям:
Переменной управления на каждом шаге назовем величину средств хк, вкладываемое в каждое предприятие. В качестве функции Беллмана Fк(Ск) выберем максимальный доход, который можно получить с предприятий (к = 0, n) при условии, что на их инвестирование осталось Cк средств:
к = n 
Fn(Cn) = gn(Cn) и хn = Cn;
, к = 1,n.
Получим хк*, в котором функция достигает максимума, и является оптимальным решением. F1(С1) – max доход со всех предприятий, а х1* - оптимальное количество средств, вложенное в первое предприятие. Далее Cк = Cк-1 - хк-1 и оптимальное количество хк.
Пример 34. На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капиталовложений, заданная значением нелинейной функции gi(xi). Необходимо определить распределения средств между предприятиями, чтобы получить максимальный суммарный доход.
Решение. Пусть распределение равно 0, 1,…., 5 млн. руб.
| х | |||||
| g1 | 2,2 | 4,1 | 5,2 | 5,9 | |
| g2 | 3,2 | 4,8 | 6,2 | 6,4 | |
| g3 | 2,8 | 5,4 | 6,4 | 6,6 | 6,9 |
Условная оптимизация.
к = 3. F3(C3) = g3(C3) и х3 = С3.
| x3* | ||||||
| F3(C3) | 2,8 | 5,4 | 6,4 | 6,6 | 6,9 |
к = 2. 
| C2\x2 | F2(C2) | x2* | ||||||
| 2,8 | 2,8 | |||||||
| 5,4 | 4,8 | 3,2 | 5,4 | |||||
| 6,4 | 7,4 | 6,0 | 4,8 | 7,4 | ||||
| 6,6 | 8,4 | 8,6 | 7,6 | 6,2 | 8,6 | |||
| 6,9 | 8,6 | 9,6 | 10,2 | 9,0 | 6,4 | 10,2 |
Первые два шага приведены на рис. 24.
Рис. 24. Экранная форма первых двух шагов.
к = 1. 
| C1\x1 | F1(C1) | x1* | ||||||
| 2,8 | 2,2 | 2,8 | ||||||
| 5,4 | 5,0 | 5,4 | ||||||
| 7,4 | 7,6 | 5,8 | 4,1 | 7,6 | ||||
| 8,6 | 9,6 | 8,4 | 6,9 | 5,2 | 9,6 | |||
| 10,2 | 10,8 | 10,4 | 9,5 | 8,0 | 5,9 | 10,8 |
Безусловная оптимизация.
Максимальный доход равен F1 (5) = 10,8 → max, следовательно, x1* = 1 млн. – первому предприятию. Осталось распределить 5 – 1 = 4 млн. Переходим к F2(4) = 8,6, следовательно, x2* = 2 – второму предприятию. Осталось распределить х3* = 3 – 2 = 1 – третьему предприятию.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.Найти оптимальный план замены оборудования за период продолжительностью n = 6, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования Р = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатации составляет 1 год.
| r(t) | |||||||
| s(t) |
2. На развитие четырех предприятий (I, II, III и IV) выделены
В = 100 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданное нелинейной функцией в таблице для каждого варианта. Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.
| I | II | III | IV | |
| 20,0 | 25,0 | 47,0 | 26,2 | |
| 30,0 | 22,0 | 58,0 | 29,4 | |
| 40,0 | 44,0 | 65,0 | 41,6 | |
| 50,0 | 56,0 | 77,0 | 56,1 | |
| 70,0 | 80,0 | 95,0 | 69,9 |
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. Кремер Н.Ш. Исследования операций в экономике. - М: Юрайт, 2010.
2. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. М.: ИНФРА-М, 2009.
3. Федосеев В.В и др. Экономико-математические методы и прикладные модели. - М: Юрайт 2012 г.
4. Шикин Е.В. и др. Математические методы и модели в управлении. Учебное пособие для студентов вузов. КДУ, 2009 г.
5. Бродецкий Г.Л. Экономико-математические методы и модели в логистике: Потоки событий и системы обслуживания (2-е изд.). Учебное пособие. Академия, 2012 г.
