Введение. При решении задач, возникающих в экономике, часто встает вопрос о выборе наилучшего в некотором смысле варианта решения

При решении задач, возникающих в экономике, часто встает вопрос о выборе наилучшего в некотором смысле варианта решения. При этом на поиск возможного варианта часто влияют разного рода факторы, сужающие рамки выбора. Иначе говоря, требуется решить задачу оптимизации, которая состоит в необходимости выбора наилучшего варианта решений среди некоторого, как правило, ограниченного множества возможных вариантов.

Задача оптимизации может быть сформулирована на языке математики, если множество доступных вариантов удается описать с помощью математических соотношений (равенств, неравенств, уравнений), а каждое решение - оценить количественно с помощью некоторого показателя, называемого критерием оптимальности или целевой функцией. Тогда наилучшим решением будет то, которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение, в зависимости от содержательного смысла задачи. Так, например, при инвестировании ограниченной суммы средств в несколько проектов естественной является задача выбора тех проектов, которые могут принести в будущем наибольшую прибыль. При доставке в магазины продукции от различных поставщиков возникает задача минимизации транспортных затрат.

Процесс формализации задачи называется построением ее математической модели. Он состоит из трех этапов.

1. Выбор параметров задачи, от которых зависит решение. Эти параметры будем называть переменными и обозначать , формируя из них вектор .

2. Описание всего множества допустимых значений переменных – ограничений, связанных с наличием материальных ресурсов, финансовых средств, технологическими возможностями и т.п..

3. Построение числового критерия, по которому можно сравнивать различные варианты решений. Такой критерий принято называть целевой функцией и обозначать через .

Математическая задача оптимизации состоит в нахождении такого допустимого решения , которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение среди всех возможных решений.

.

Решение называется оптимальным решением задачи оптимизации.

Модели задач оптимизации имеют множество различных постановок. В зависимости от элементов моделей (исходных данных, искомых переменных и типов зависимостей) можно провести следующую их классификацию:

В дальнейшем мы будем рассматривать задачи линейного программирования (ЛП), в которых исходные переменные непрерывны, целевая функция линейна, а множество описывается линейными равенствами и неравенствами.

Математическая постановка общей задачи ЛП имеет следующий вид.

Найти максимум (или минимум) линейной функции

от переменных , удовлетворяющих линейным ограничениям в форме равенств или неравенств

Часто в экономических задачах отдельно выписываются условия неотрицательности переменных, связанные со смыслом экономических показателей, взятых за неизвестные.

В курсе математика-2 изучаются методы исследования задач линейного программирования, позволяющие найти их решение не прибегая к помощи компьютера. Область применения таких методов как графический, табличный симплекс-метод, ограничивается задачами с небольшим числом переменных и ограничений. В то же время существует мощное, удобное и, что немаловажно, простое средство решения задач оптимизации достаточно большой размерности. Оно поставляется в составе популярного программного пакета Microsoft Excel и называется “ПОИСКРЕШЕНИЯ”.