Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

В качестве следующего примера работы с массивами рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Гаусса. На рис. 32. приведены результаты решения методом Гаусса следующей системы линейных уравнений:

2 х ₁+3 х ₂+7 х ₃+6 х ₄=1,

3 х ₁+5 х ₂+3 х ₃+ х ₄ =3,

5 х ₁+3 х ₂+ х ₃+3 х ₄ =4,

3 х ₁+3 х ₂+ х ₃+6 х ₄ =5.

В диапазоны ячеек А 33: D 36 и Е 33: Е 36 введены матрица коэффициентов и столбец свободных членов, соответственно. Содержимое ячеек А 33: Е 33 скопировано в ячейки А 38: Е 38, А 43: Е 43 и А 48: Е 48. В диапазон ячеек А 39: Е 39 введена формула:

{= A 34: E 34-$ A $33:$ E $33*(A 34/$ A $33)},

обращающая в нуль коэффициент при х ₁ во втором уравнении системы.

Рис. 32. Пошаговое решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Выделим диапазон А 39: Е 39 и протащим маркер выполнения этого диапазона так, чтобы выполнить диапазон А 39: Е 41. Это обратит в нуль коэффициент при х ₁ в третьем и четвертом уравнениях системы. Скопируем значения из диапазона ячеек А 39: Е 39 в диапазоны А 44: Е 44 и А 49: Е 49. Для копирования значений без формул воспользуйтесь командой Правка, Специальная вставка и в открывшемся диалоговом окне Специальная вставка в группе Вставить установите переключатель в положение Значение.

В диапазон ячеек А45:Е45 вводим формулу:

{= A 40: E 40-$ A $39:$ E $39*(B 40/$ B $39)}.

Выделим диапазон А 45: Е 45 и протащим маркер заполнения этого диапазона так, чтобы заполнить диапазон А 45: Е 46. Это обратит в нуль коэффициент при х ₂ в третьем и четвертом уравнениях системы. Копируем значения из диапазона ячеек А 45: Е 45 в диапазон А 50: Е 50. В диапазон ячеек А 51: Е 51 вводим формулу

{= A 46: E 46-$ A $45:$ E $45*(C 46/$ C $45)},

которая обращает в нуль коэффициент при х ₃ четвертого уравнения системы. Прямая прогонка метода Гаусса завершена. Обратная прогонка заключается в вводе в диапазоны G36:К36, G35:K35, G34:K34 и G33:K33, соответственно, следующих формул:

{=A51:E51/D51}

{=(A50:E50-G36:K36*D50)/C50}

{=(A49:E49-G36:K36*D49-G35:K35*C49)/B49}

{=(A48:E48-G36:K36*D48-G35:K35*C48-G34:K34*B48)/A48}

В диапазоне ячеек К 33: К 36 получено решение системы.