Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется скалярное произведение вектора

Пусть , , не равны нулю. Рассмотрим :

где – угол между векторами и , – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , – проекция вектора на перпендикуляр к плоскости векторов и .
Если угол острый, то >0, и – объем параллелепипеда, построенного на векторах , , . Если угол тупой, то <0, и . Значит, . Таким образом, доказана

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения трёх векторов): Если на трёх некомпланарных векторах , и построен параллелепипед, то его объем равен модулю смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов в координатной форме

Пусть в репере R= заданы векторы , . Вычислим .

Пусть = . Тогда = .

= = =

.

Легко проверить, что это выражение равно .

Таким образом, .

Свойства смешанного произведения векторов

Выполняются все свойства скалярного и векторного произведений векторов.

Для любых векторов , и справедливо:

1. ;

2.

3. .

Последнее равенство можно доказать в координатной форме, например.

Часто смешанное произведение записывают , так как из третьего свойства следует, что не важно, какую пару векторов перемножать векторно.