Векторное произведение двух векторов. Определение. Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется такой вектор , что

Определение. Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется такой вектор , что:

1. и тройка векторов – правая ;

2. .

Обозначение: или .

Простейшие свойства векторного умножения

1. .

Доказательство. Если или , то доказательство очевидно. Если и , то .

2. Геометрический смысл векторного произведения: если из одной точки пространства построить представителей векторов и , и на этих отрезках достроить параллелограмм, то площадь параллелограмма будет равна модулю векторного произведения .

Алгебраические свойства векторного умножения

1. Антикоммутативность: .

2. Ассоциативность (относительно скалярного множителя): =

3. Дистрибутивность: = .

Следствие. Исходя из свойств векторного умножения, можно умножать линейную комбинацию векторов на другую линейную комбинацию некоторых векторов по правилу умножения многочленов. Но здесь важно учитывать порядок сомножителей в силу антикоммутативности векторного умножения векторов.

Пример

=

Векторное произведение в координатной форме

Пусть в репере векторы имеют координаты: , , , где . Имеем разложение по базису: , . Вектора базиса связаны соотношениями: и .

Так как = = , то:

То есть, вектор имеет координаты: .

Существует такая условная запись: .

Пример. . Тогда:

.

Задача. Определите площадь треугольника по координатам его вершин.

Пусть в репере R= даны точки , , . Тогда площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, натянутого на вектора .

Используя геометрический смысл векторного произведения, имеем:

Вычисляем: Пусть . Тогда

,