2015-06-28
1041
Сучасні ЕОМ можуть обробляти лише інформацію, представлену в чисельному вигляді. Для обробки всієї іншої інформації (текстів, зображень, звуків) за допомогою ЕОМ потрібно перевести її у числову форму. Метод координат дозволяє представити графічну інформацію в числовому вигляді.
Для того, щоб операції на векторами звести до операцій над числами представимо вектори у координатній формі.
П р о е к ц і я в е к т о р а н а в і с ь
Віссю координат називають напрямлену пряму на якій визначена точка 
– початок координат, і вказана масштабна одиниця.
Кутом між векторами 
і 
(вектором і віссю 
) називається менший з кутів 
, на який потрібно повернути один вектор або вісь, щоб він збігався за напрямом з другим вектором або віссю, 
.
Проекцією точки 
на вісь називається основа перпендикуляру 
, опущеного з точки на дану вісь. Таким чином, проекцією вектора на вісь є точка перетину осі з площиною, яка проходить через точку перпендикулярно осі .
Розглянемо у просторі вісь і вектор 
. Спроектуємо на вісь початкову та кінцеву точки цього вектора. Розглянемо одержаний вектор 
, який лежить на осі .
|
|
|
Проекцією вектора на вісь називають число, яке позначають 
, що відповідає довжині вектора 
і береться з певним знаком,
Проекція нульового вектора дорівнює нулю, 
.
В л а с т и в о с т і п р о е к ц і й в е к т о р а
Основні властивості проекції вектора на вісь полягають в тому, що лінійні операції над векторами приводять до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів.
1. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між вектором і віссю,
.
2. Проекція суми кількох векторів на дану вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь, тобто
.
3. При множенні вектора на число 
його проекція множиться на це число, 
.
Д е к а р т о в а с и с т е м а к о о р д и н а т
у л і н і й н о м у п р о с т о р і
Ортонормованим базисом називається упорядкована трійка одиничних попарно перпендикулярних векторів 
, 
, 
(
; 
, 
, 
).
Прямокутною декартової системою координат (або просто прямокутною системою координат) називається декартова система координат, базис , , якої ортонормований.
Вектор визначає напрям осі абсцис 
, вектор – осі ординат 
, вектор – осі аплікат 
, точка – початок координат.
У залежності від орієнтації ортонормованого базису прямокутні системи координат поділяються на праву (рис. 1) і ліву (рис. 2) системи. Орієнтація визначається за напрямом повороту, проти чи за стрілкою годинника, від одної осі до іншої в відповідних координатних площинах.
Рис. 1.
| 
Рис. 2.
|
Прямокутну систему координат позначають через 
(
– вісь абсцис, 
– вісь ординат, 
– вісь аплікат), а координатні площини 
, 
, 
. При зображенні системи координат показують, як правило, лише осі координат, а базисні вектори не показують. Кінець базисного вектора співпадає з положенням точки, яка відповідає масштабній одиниці (1), позначеній на осі.
|
|
|
На площині прямокутна декартова система координат визначається ортами , і початком . Аналогічно до просторової системи на площині виділяють праву і ліву системи координат.
Наприклад. Екран дисплея зв’язав з лівою координатною системою, початок якої знаходиться у верхньому лівому куті екрана, вісь абсцис , напрямлена вправо по ширині екрана, а вісь ординат напрямлена вниз. Використання методу координат дозволяє визначити координати пікселей дисплею, які активізуються при виведені зображення на екрані.
Далі будемо розглядати тільки праві просторові системи координат, де за напрям обертання вибирають напрям «проти стрілки годинника» так, щоб з кінця напрямного вектора аплікати, , найкоротший поворот від напрямного вектора абсциси, , до напрямного вектора ординати, . було видно проти стрілки годинника.
К о о р д и н а т и в е к т о р а
в п р я м о к у т н і й с и с т е м і к о о р д и н а т
Будь-якій точці 
простору можна співставити вектор 
, початок якого збігається з початком координат , а кінець – з точкою .
Такий вектор називають радіусом-вектором 
точки відносно точки , 
.
Виходячи з властивостей базису лінійного простору, кожний вектор можна представити як лінійну комбінацію базисних векторів
,
де 
– координати радіуса-вектора у ортонормованому базисі 
, 
.
Координатами точки у декартовій координатній системі лінійного простору називають координати 
радіуса-вектора точки .
З ортонормованості базисних векторів системи координат випливає, що координати точки дорівнюють відповідним проекціям радіуса-вектора цієї точки на осі координат, тобто
, 
, 
,
і визначаються проектуванням точки на координатні осі.
Точка з координатами позначається 
. Координату 
називають абсцисою точки , координату 
– ординатою точки , координату 
– аплікатою точки .
Аналогічно визначаються координати точки на площині та прямій. Різниця полягає в тому, що точка на площині має дві координати 
, а точка на прямій – одну координату 
.
В л а с т и в о с т і д е к а р т о в о ї с и с т е м и к о о р д и н а т
1. Якщов просторі задана декартова система координат , то кожній точці простору можна поставити у відповідність тільки одну впорядковану трійку чисел , яка визначає декартові координати точки в просторі,
т. 
.
2. Якщов просторі задана декартова система координат , то для кожної впорядкованої трійки чисел знайдеться єдина точка простору, для якої ці числа є декартовими координатами,
т. .
Лінійним простором 
називають множину всіх просторових векторів з введеними на ній лінійними операціями додавання та множення на число (скалярний множник), які задовольняють певним аксіомам.
Виконання лінійних операцій з векторами заданими у координатній формі базується на властивостях проекції вектора на вісь, які були розглянуті вище.
