В. Смешанное произведение трех векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется векторное произведение двух векторов , скалярно умноженное на третий вектор :

Смешанное произведение есть скалярная величина, по модулю численно равная объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пусть , тогда

V_{параллелепипеда,} где “+” означает, что , , образуют правую тройку, а “-“ –левую тройку. Отсюда получаем, что

; .

Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.

Если перемножаемые векторы заданы их разложением по ортам:

, ,

то их смешанное произведение будет равно определителю третьего порядка:

.