Евклидово пространство

Линейная алгебра

Вектором в курсе математики средней школы мы называли направленный отрезок. Вектор характеризуется длиной и направлением. Вектор можно перемещать параллельно самому себе. Аналитически вектор определяется его координатами. Координатами вектора называются координаты конца вектора, если начало совпадает с началом координат. Векторы можно складывать (покоординатно, правило прямоугольника) и умножать на число (покоординатно, растяжение). Умеем вычислять скалярное произведение и угол между векторами. Векторы в пространстве имеют три координаты и с ними можно выполнять те же действия. Аналогично можно обобщить понятие вектора на случай п -мерного пространства.

Линейное векторное пространство.

Евклидово пространство.

Опр. Упорядоченная совокупность п действительных чисел а₁, а₂, …, а_п называется п -мерным вектором =(а₁, а₂, …, а_п). Числа а₁, а₂, …, а_п называются координатами вектора.

Геометрически для п >3 вектор изобразить нельзя, однако применить это понятие для практических целей вполне можно. Например, в виде вектора можно представить объем выпуска п видов продукции, цены этой продукции и т.д.

Два вектора называются равными, если равны их соответствующие координаты: .

Суммой (разностью) двух п -мерных векторов и называется п -мерный вектор, каждая координата которого равна сумме (разности) соответствующих координат исходных векторов:

.

Произведением п -мерного вектора на число к называется п -мерный вектор, каждая координата которого равна произведению соответствующей координаты исходного вектора на число к: .

Свойства операций над векторами.

1. - коммутативность суммы

2. - ассоциативность суммы

3. - ассоциативность относительно числового множителя

4. - дистрибутивность суммы

5. - дистрибутивность относительно суммы числовых множителей

6.

7.

8. .

Опр. Совокупность всех п -мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющая приведенным выше свойствам, называется линейным векторным пространством (Е ^п).

Скалярным произведением двух п -мерных векторов и называется число, равное сумме попарных произведений их координат:

.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. ;

2.

3.

4. .

Линейное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам, называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) п -мерного вектора называется величина

Угол между двумя п -мерными векторами и определяется по формуле:

.

Два ненулевых п -мерных вектора и называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90º. Условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Два п -мерных вектора и называются коллинеарными, если найдется ненулевое число , такое, что . Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат:

.

Единичным п -мерным вектором или ортом называтся вектор, у которого i -я координата равна единице, а остальные – нулю: , , …, .