Дії з векторами, заданими в координатній формі

1. Сумою п-вимірних векторів a = (a_1, a₂,...,a_n) і b = (b₁,b₂,...,b_n) називають п -вимірний вектор а + b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-додатків, тобто а+b = (a₁+b₁,a₂ +b₂,…, a_n+b_n)

Наприклад, якщо а = (1;2;-1), b = (-3;1;0), то а + b = (-2;3;-1).

2. Добутком числа k (скаляра) на n -вимірний вектор a = (a_1, a₂,...,a_n) називається n -вимірний вектор kа, координати якого дорівнюють добутку числа k на відповідні координати ве­ктора а, тобто ka = (ka₁, ka₂, …, ka_n)

Наприклад, якщо а = (1;2;-1), то 3 а = (3;6;-3;).

Властивості додавання векторів та множення числа на вектор (k, l - деякі числа):

1) a + b = b + a;

2) (a+b) + c = a + (b + c);

3) k(al) = (kl)a;

4) k(a + b) = ka + kb;

5) (k + l)a = ka + la;

6) a + 0 = a;

7) 1·a = a;

8) 8) Для довільного вектора а існує протилежний вектор -а такий, що а + (-а) = 0.

3. Різницею векторів а і b називають вектор а+ (- b), який позначатимемо а-b.

4. Скалярним добутком (а, b) двох п -вимірних векторів a = (a_1, a₂,...,a_n) і b = (b₁,b₂,...,b_n) називають число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів, тобто (a,b) = a₁ · b₁ + a₂ · b₂+...+a_n ·b_n.

Наприклад, якщо а = (1;2;-1), b = (-3;1;0), то (a,b) = -3 + 2 + 0 = -1

Властивості скалярного добутку векторів:

1)(а,b) =(b,а)

2)(а,b+c) = (a,b) + (a,c);

3)(ka,b) = k(a,b);

4) (а,а) ≥ 0, причому (а,а) = 0 тоді і тільки тоді, коли а = 0.