Свойства бинарных отношений. 1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для всех х Î X выполняется условие (х

1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для всех х Î X выполняется условие (х, х) Î R. Отношение R на множестве Х называется нерефлексивным, если ус­ловие (х, х) Î R не выполняется хотя бы при одном х Î X.

2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из усло­вия (х, у) Î R следует
(у, х) Î R. Отношение R на множестве X называется несимметричным, если для любых х, у Î X из условия (х, y) Î R следует (у, х) Ï R.

3. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если для лю­бых х, у, z Î R из одновременного выполнения условий (x, y) Î R и (у, z) Î R следует (х, z) Î R.

Пример. Рассмотрим следующие отношения на множестве X = {1,2,3,4,5,6,7}:

G = {(x, y) | х, у Î Х; х > у};

L = {(х, у) | х, у Î Х; х £ у};

M = {(x, y) | х, у Î X; (х - у) делится на 3};

К = {(х, y) | х, у Î Х; х² + у² £ 20}.

Исследуем, какими свойствами они обладают.

Среди приведенных в примере отношений рефлексивными являются отношение L (т. к. х £ х справедливо при всех х Î X) и отношение М (т. к. х - х = 0 делится на 3, поэтому пара (х, х) принадлежит отношению М при всех х Î X).

Симметричными являются отношения М (если х - у делится на 3, то и у - х делится на 3) и К (если х² + у² £ 20, то и у² + х² £ 20).

Транзитивными являются отношения G, L, М.