Бинарные отношения. Определение бинарного отношения

Определение бинарного отношения

Пусть среди трех людей: Андрей (А), Василий (В) и Сергей (С) двое знакомы друг с другом (Андрей и Василий) и знают третьего – Сергея, но Сергей их не знает. Как описать отношения между этими людьми?

Имеем исходное множество Х = {А, В, С}. Далее из элементов множества Х составим упорядоченные пары:
(А, В), (В, А), (А, С), (В, С). Это множество пар и описывает связи между элементами множества X. Кроме того, множество этих пар есть подмножество декартова произведения X ´ X.

Определение. На множестве X задано бинарное отношение R, если задано подмножество декартова произведения X ´ X (т. е. R Ì X ´ X).

Пример 1. Пусть X = {1, 2, 3, 4}. Зададим на X следующие отношения:

Т = {(х, у) | х, у Î Х; х = у} – отношение равенства;

Р = {(х, у) | х, у Î Х; х = у - 1} – отношение

предшествования;

Q = {(х, у) | х, у Î Х; х делится на у} – отношение

делимости.

Все эти отношения заданы с помощью характеристического свойства. Перечислим элементы этих отношений для заданного множества X = {1,2,3,4}:

Т = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)};

P = {(1,2), (2,3), (3,4) };

Q = {(4,4), (4,2), (4,1), (3,3), (3,1), (2,2), (2,1), (1,1)}.

Тот факт, что пара (х, у) принадлежит данному отношению R, будем за­писывать: (х, у) Î R или xRy. Например, для отношения Q запись 4Q2 озна­чает, что 4 делится на 2 нацело, т. е. (4,2) Î Q.

Областью определения D_r бинарного отношения R называется мно­жество D_R = {x | (х, у) Î R}.

Областью значений Е_R бинарного отношения R называется множество Е_R = {у| (х, у) Î R}.

В примере для отношения Р областью определения является мно­жество D_R = {1,2,3}, а областью значений является мно­жество Е_R = {2,3,4}.