Математическая логика

Алгебра логики

Логические высказывания

Под логическим высказыванием понимается повествовательное предло­жение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или лож­но, но не то и другое вместе.

Примеры:

1. Волга впадает в Каспийское море.

2. Два больше трёх.

3. Я лгу.

Примеры 1, 2 являются высказываниями (1 – истинно, 2 –ложно). Пример 3 – не высказывание (если предположить, что оно истинно, то в силу его смысла оно одновременно ложно и, наоборот, из лож­ности этого предложения вытекает его истинность).

В алгебре логики не рассматривают внутреннюю струк­туру высказываний, а ограничиваются рас­смотрением их свойства представлять истину или ложь. Поэтому на высказывание можно смотреть, как на величину, которая может принимать только одно из двух значений: «истина» или «ложь».

Высказывания будем обозначать буквами А, В, С, а их зна­чения («истина» или «ложь») – соответственно цифрами 1 или 0. Эти цифры будем рассматривать как символы, не имеющие арифметического смысла.

В обычной речи сложные предложения образуются из простых предложений с помощью связок: «и», «или», «если..., то…» и т. д.

Примеры:

1. Светит солнце, и идёт дождь.

2. Шесть делится на два или шесть делится на три.

3. Если контакт замкнут, то лампа горит.

Связки можно рассматривать как операции над высказывания­ми. В алгебре логики вводят операции, аналогичные связкам обычной речи. При этом истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется истинностью или ложностью его составляющих.