Функции двух переменных

f₂ = х₁ Ù х₂ – конъюнкция или логическое умножение

f₈ = х₁ Ú x₂ – дизъюнкция или логическое сложение.

f₁₀ = х₁ ~ х₂ – эквивалентность;

f₇ = х₁ Å х₂ – неэквивалентность;

f₁₂ = х₂ ® х₁ – функция следования (импликации) х₁;

f₁₄ = х₁ ® х₂ – функция следования (импликации) х₂;

f₃ = х₁ х₂ – функция запрета х₁;

f₅ = х₂ х₁ – функции запрета х₂;

f₉ = х₁ ¯ x₂ – функция (стрелка) Пирса;

f₁₅ = х₁ | х₂ – функция (штрих) Шеффера.

Причем, функцииf₂, f₈, f₁₀, f₁₂, f₁₄определены ранее как основные логические функции (табл. 2.1).

Функции f₃, f₅, f₇, f₉, f₁₅ являются производными от них:

f₃ =`f₁₄ или х₁ х₂ = х₁ ® х₂,

f₅ =`f₁₂ или х₂ х₁ = х₂ ® х₁,

f₇ =`f₁₀ или х₁ Å х₂ = х₁ ~ х_2,

f₉ =`f₈ или х₁ ¯ x₂ = х₁ Ú х_2.

f₁₅ =`f₂ или х₁ | х₂ = х₁ Ù х₂

Остальные 6 функций, по сути, не являются функциями от двух переменных. Функции f₄, f₆, f₁₁, f₁₃ зависят существенно только от одной переменной:

f₄(х₁, х₂) = х₁, f₆(х₁, х₂) = x₂,

f₁₁(х₁, х₂) =`х<sub>2</sub>, f<sub>13</sub>(х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub>) =`х₁.

Функции f₁, f₁₆ не зависят ни от одной переменной и являются функциями – константами:

f₁(х₁, х₂) = 0, f₁₆(х₁, х₂) = 1.

Замечание. Операция неэквивалентности (х₁ Å х₂), определяющая функцию f₇(х₁, х₂), имеет и другие назва­ния. В математической логике она известна еще как опера­ция «исключающее или», а в двоичной алгебре – как операция «сложение по модулю два».

Исходя из рассмотренных элементарных функций, можно построить формулы для более сложных функций трех и более числа переменных.

Пример. Формула F = ((х₁ Å х₂) •`х₂) ® х₃ определяет функцию трех переменных f(х₁, х₂, х₃ ).

Таким образом, суперпозиция элементарных функций позволяет получить другие логические функции конечного или бесконечного числа переменных. Совокупность всех возможных логических функций образует множество, которое обозначим P₂.