З'єднання зі зворотним зв'язком

Задано автомати A₁ = (S_1, X_1, Y_1, d_1, l_1, {s₀₁}) і A₂ = (S_2, X_2, Y_2, d_2, l_2, {s₀₂}) і КС (автомат з одним станом) A₃ = ({X₃´X₄}_, {s₀₃}, Y_3, l₃).

У випадку з'єднання зі зворотним зв'язком принаймні один з автоматів A₁ чи A₂ повинен бути автоматом Мура, інакше стабільність системи не гарантується, тому що інакше буде Y(t) = f_c(S(t)(X(t)´Y(t))), що приводить до виникнення генерації.

Рис. 20.3. З'єднання автоматів зі зворотним зв'язком

Визначення. Нехай A₂ – автомат Мура. Результуючим автоматом з'єднання двох автоматів зі зворотним зв'язком називається автомат A = (S_, X_, Y_, d_, l_, {s₀}), у якого

1. S = S₁´S₂

2. X = pr₁X₃

3. Y₂ = pr₂X₃

4. Y = Y₁ = X₂

5. Y₃ = X₁

6. d: S´X®S і визначається в такий спосіб:

d(S´X) = (d₁(S₁´X₁), (d₂(S₂´X₂)) чи d(S´X) = {s=d(s^’_, x)Î
Îd(S´X)| s'= <s₁^’_, s₂^’ > & s= <s_1, s₂> & xÎX & s₁ =
=d₁(s₁^’, l₃(x, l₂(s₂^’))) & s₂=d₂(s₂^’, l₁(s₁^’, l₃(x, l₂(s₂^’))))}

7. l: S´X®Y і визначається так:

l(S´X)=l₁(S₁´l₃(X´l₂(S₂))) чи l(S´X)={y=l(s^’, x)Îl(S, X)| s'=<s₁^’_, s₂^’> & xÎX & y=l₁(s₁^’, l₃(x, l₂(s₂^’)))}

8. s₀ = <s_01, s₀₂ >.

Приклад. Задані два автомати A₁ – Мілі. A₁ = (S_1, X_1, Y_1,d _1, l_1, {S₀₁}),
A₂ – Мура A₂ = (S_2, X_2, Y_2,d _2, l_2, {S₀₂}).

Функція переходів-виходів автомата Мілі d₁:S₁´X®S₁; l₁:S₁´X®Y₁:

Таблиця 20.8

X1\S1	s11	s12	s13
x11	s13/y11	s12/y12	s13/y11
x12	s12/y13	s11/y11	s11/y12

Функція переходів-виходів автомата Мура d₂:S₂´X®S₂ ; l₂:S₂®Y₂:

Таблиця 20.9

S2/Y2 X2	s21	s22
y21	y22
x21	s21	s22
x22	s22	s22
x23	s21	s21

КС – автомат без пам'яті A₃ перетворить l₃ :X´Y₂®Y₃=X₁
(табл. 26.10). A₃=(S₃ = {s₀₃}, {X´Y₂}, Y₃=X₁, d₃(S₃´{X´Y₂})={s₀}, l₃(S₃´{X´ Y₂}), {s₀₃})

Таблиця 20.10

Y2\X	x1	x2	x3
Y21	x11	x11	x11
Y22	x12	s12	x11

Автомат А має X={x_1,x_2,x₃}, Y={y_1,y_2,y₃}, S=S₁´S₂={<s_11,s₂₁>, <s_11,s₂₂>, <s_12,s₂₁>, <s_12,s₂₂>, <s_13,s₂₁>, <s_13,s₂₁>}={s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆}.

Функція переходів d:S´X®S

Таблиця 20.11

S/S1´S2 X	s1	s2	s3	s4	s5	s6
<s11,s21>	< s11,s22>	<s12,s21>	<s12,s22>	<s13,s21>	<s13,s22>
x1	s5/s13s21	s3/s12s21	s4/s12s22	s4/s12s22	s5/s13s21	s2/s11s22
x2	s5/s13s21	s3/s12s21	s4/s12s22	s2/s11s22	s5/s13s21	s2/s11s22
x3	s5/s13s21	s6/s13s22	s5/s13s12	s6/s13s22	s5/s13s21	s6/s13s21

Функція виходів l:S´X®Y

Таблиця 20.12

S/S1´S2 X	s1	s2	s3	s4	s5	s6
<s11s21>	< s11s22>	<s12 21>	<s12 s22>	<s13 s21>	<s13 s22>
x1	y1/y11y21	y3/y13y22	y2/y12y21	y1/y11y22	y1/y11y21	y2/y12y22
x2	y1/y11y21	y3/y13y22	y2/y12y21	y1/y11y22	y1/y11y21	y2/y12y22
x3	y1/y11y21	y1/y11y22	y2/y12y21	y2/y12y22	y1/y11y21	y1/y11y22

Початковий стан для А s₀=<s_01, s₀₂>.