double arrow

Основные определения. Понятие множества является фундаментальным неопределяемым понятием


Понятие множества является фундаментальным неопределяемым понятием. Интуитивно под множеством понимают совокупность вполне определенных различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Природа объектов может быть самой различной. Так, можно гово­рить о множестве стульев в комнате, людей, живущих в Томске, сту­дентов в группе, о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, состояний системы и т.п. Но нельзя, например, говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каж­дую отдельную каплю, капли неразличимы между собой.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.

Для обозначения конкретных множеств принято использовать прописные буквы A, S, X, ... . Для обозначения элементов множества используют строчные буквы a, s, x, ... . Множество X, элементами ко­торого являются x1, x2, x3 , обозначают X = {x1, x2, x3}. Это один способ задания множества - перечисление всех его элементов. Он удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов. Второй способ задания множества - описательный - состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Так, если M - множество студентов группы, то множество X отличников этой группы записывается в виде

X = {x Î M / x - отличник группы},

что читается следующим образом: множество X состоит из элементов x множества M таких, что x является отличником группы. Множество простых чисел записывается как X = {x / x - простое}. Для указания того, что элемент x принадлежит множеству X, используется запись x Î X. Запись x Ï X означает, что элемент x не принадлежит множеству X.

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов, и бесконечным, если число его элементов бесконечно. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Пустое множество обозначается Æ, например:

X ={x Î C / x2 - x + 1 = 0} = Æ,

где С - множество целых чисел. Пустое множество условно относится к конечным множествам.

Два множества X и Y равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов, т.е. X = Y, если x Î X, то x Î Y и если y Î Y, то y Î X.

Множество X является подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит множеству Y. Этот факт записывается как X Ì Y.

Последовательность из n элементов множества называется n-строчкой или кортежем. В n-строчке каждый элемент занимает определенное место, тогда как во множестве порядок расположения элементов роли не играет.

Для сокращения записи в теории множеств используются некоторые логические символы. Это кванторы общности " и существования $, а также символы следствия (импликации) Þ и логической эквивалентности Û. Смысл этих обозначений следующий:

" - «любой», «каждый», «для всех»;

$ - «существует», «найдется», «хотя бы один»;

Þ - «влечет», «имеет следствием»;

Û - «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно».

Использование логических символов, например, для определения подмножества, которое может быть сформулировано в виде: для любого x утверждение «x принадлежит X» влечет за собой утверждение «x принадлежит Y», приводит к записи:

"x [x Î X Þ x Î Y].

Запись X Ì Y и Y Ì X Û X = Y означает: для того, чтобы X было равно Y необходимо и достаточно, чтобы X Ì Y и Y Ì X.


Сейчас читают про: