Математика 10 класс

№1.

Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами. Цифра десятков на 3 меньше цифры единиц. Если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.

(10 баллов)

№2.

Известно, что . Докажите, что .

(15 баллов)

№3.

Решите уравнение:

(20 баллов)

№4.

В городе N-ске выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.)

Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за одного и того же кандидата из числа оставшихся.

На очередных выборах баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре k -е место по числу голосов. Определите наибольшее возможное значение k, если Остап Бендер был избран

а) в 1002-м туре;

б) в 1001-м туре.

(25 баллов)

№5.

Докажите неравенство: , если a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - его гипотенуза.