Заданы векторы , , и своими координатами в некотором базисе (таблица 3). Показать, что векторы , , образуют базис. Найти координаты вектора в базисе , , .
Таблица № 3
№ варианта | ||||
(0,1,2) | (1,0,1) | (-1,2,4) | (-2,4,7) | |
(1,3,0) | (2,-1,1) | (0,-1,2) | (6,12,-1) | |
(2,1,-1) | (0,3,2) | (1,-1,1) | (1,-4,4) | |
(4,1,1) | (2,0,-3) | (-1,2,1) | (-9,5,5) | |
(-2,0,1) | (1,3,-1) | (0,4,1) | (-5,-5,5) | |
(5,1,0) | (2,-1,3) | (1,0,-1) | (13,2,7) | |
(0,1,1) | (-2,0,1) | (3,1,0) | (-19,-1,7) | |
(1,0,2) | (0,1,1) | (2,-1,4) | (3,-3,4) | |
(3,1,0) | (-1,2,1) | (-1,0,2) | (3,3,-1) | |
(-1,2,1) | (2,0,3) | (1,1,-1) | (-1,7,-4) | |
(1,1,4) | (0,-3,2) | (2,1,-1) | (6,5,-14) | |
(1,-2,0) | (-1,1,3) | (1,0,4) | (6,-1,7) | |
(1,0,5) | (-1,3,2) | (0,-1,1) | (5,15,0) | |
(1,1,0) | (0,1,-2) | (1,0,3) | (2,-1,11) | |
(1,0,2) | (-1,0,1) | (2,5,-3) | (11,5,-3) | |
(2,0,1) | (1,1,0) | (4,1,2) | (8,0,5) | |
(0,1,3) | (1,2,-1) | (2,0,-1) | (3,1,8) | |
(1,2,-1) | (3,0,2) | (-1,1,1) | (8,1,12) | |
(1,4,1) | (-3,2,0) | (1,-1,2) | (-9,-8,-3) | |
(0,1,-2) | (3,-1,1) | (4,1,0) | (-5,9,-13) | |
(0,5,1) | (3,2,-1) | (-1,1,0) | (-15,5,6) | |
(1,0,1) | (0,-2,1) | (1,3,0) | (8,9,4) | |
(2,1,0) | (1,-1,0) | (-3,2,5) | (23,-14,-30) | |
(2,1,0) | (1,0,1) | (4,2,1) | (3,1,3) | |
(0,3,1) | (1,-1,2) | (2,-1,0) | (-1,7,0) | |
(1,-1,2) | (3,2,0) | (-1,1,1) | (11,-1,4) | |
(1,1,4) | (-3,0,2) | (1,2,-1) | (-13,2,18) | |
(0,-2,1) | (3,1,-1) | (4,0,1) | (0,-8,9) | |
(0,1,5) | (3,-1,2) | (-1,0,1) | (8,-7,-13) | |
(1,0,1) | (1,-2,0) | (0,3,1) | (2,7,5) |
Образец решения задачи № 3
|
|
Пусть векторы имеют следующие координаты , , , .
Покажем, что векторы , , образуют базис. Как известно, в пространстве любые три некомпланарных вектора образуют базис. Для того чтобы векторы , , были некомпланарными достаточно, чтобы их смешанное произведение не равнялось нулю.
.
Найдём координаты вектора в базисе , , . Представим вектор в виде:
.
Получаем систему линейных уравнений:
.
Решим эту систему по правилу Крамера, получаем:
, , .