1. Диофантовы уравнения.
Решите диофантово уравнение 903x + 994 y = 14
Сначала найдём наибольший общий делитель коэффициентов в левой части, то есть НОД (903, 994).
Применим алгоритм Евклида.
994 = 903 ∙ 1 + 91
903 = 91 ∙ 9 + 84
91 = 84 ∙ 1 + 7
84 = 7 ∙ 12
Таким образом, НОД (903, 994) = 7.
Разделим обе части уравнения 903x + 994 y = 14 на 7.
Получим 129 x + 142 y = 2.
Найдём пару целых чисел x и y, таких, что 129 x + 142 y = 1.
Для этого воспользуемся обобщённым алгоритмом Евклида.
Сначала найдём НОД (129, 142) (мы уже знаем, что он равен 1, но результаты вычислений понадобятся нам для промежуточных выкладок).
142 = 129 ∙ 1 + 13
129 = 13 ∙ 9 + 12
13 = 12 ∙ 1 + 1
12 = 1 ∙ 12
Теперь эти выкладки рассматриваем от конца к началу, то есть выразим 1 как линейную комбинацию 13 и 12, затем – как линейную комбинацию 129 и 13, и, наконец, как линейную комбинацию 142 и 129.
1 = 13 – 12 = 13 – (129 – 13 ∙ 9) = 13 – 129 + 13 ∙ 9 = 13 ∙ 10 – 129 = (142 - 129) ∙ 10 – 129 = 142 ∙ 10 – 129 ∙11
Итак, мы нашли и такие, что .
Но, поскольку уравнение имеет вид 129 x + 142 y = 2, то два найденных числа умножим на 2, то есть в качестве частного решения возьмём и .
Теперь найдём общее решение. Если в уравнении 129 x + 142 y = 2 величину x уменьшить на 142, а величину y увеличить на 129, то сумма не изменится, поскольку величина 129 ∙ 142 к одному слагаемому прибавляется, а из другого слагаемого вычитается.
Поэтому можем общее решение записать так.
x = -22 – 142 t, y = 20 + 129 t, t – произвольное целое число.
Это и будет ответом.
Ответ. x = -22 – 142 t, y = 20 + 129 t, t – произвольное целое число.
Примечание 1.
Если в условии стоит не сумма, а разность, например, 129 x – 142 y = 2, то величины
142 t и 129 t нужно будет брать с одним знаком, поскольку в этом случае увеличение чисел 129 x и 142 y будет происходить на одно и то же число. Поэтому их разность не изменится.
Примечание 2.
В этой задаче, как и во многих других задачах данной серии, можно проверить свой ответ, подставив числа в исходное уравнение или в уравнение 129 x + 142 y = 2 (если вы уверены, что правильно сократили).
Подставим их.
129(-22 – 142 t) + 142 (20 + 129 t) = 129 ∙ (-22) – 129 ∙ 142 t + 142 ∙ 20 + 142 ∙ 129 t =
129 ∙ (-22) + 142 ∙ 20 = 2.
При этом, если вы не учли примечание 1 и ошиблись со знаками, то при проверке это сразу увидите.