Определение
Непрерывной дробью называют дробь вида
Если эта дробь где-либо заканчивается, её называют конечной непрерывной дробью.
Конечные непрерывные дроби соответствуют рациональным числам.
Пример.
Возможно и обратное действие: получение непрерывной дроби из рационального числа.
Обычно такую непрерывную дробь записывают в виде (2; 1, 1, 1, 2). Целая часть отделяется точкой с запятой.
Теперь покажем другой способ нахождения коэффициентов непрерывной дроби. Применим алгоритм Евклида к числам 21 и 8.
21 = 8 ∙ 2 + 5
8 = 5 ∙ 1 + 3
5 = 3 ∙ 1 + 2
3 = 2 ∙ 1 + 1
2 = 1 ∙ 2
Обратите внимание на связь коэффициентов непрерывной дроби с неполными частными в алгоритме Евклида!
Если у этой дроби начиная с некоторого места образуется период, её называют периодической непрерывной дробью.
Периодическую непрерывную дробь можно выразить в виде корня некоторого квадратного уравнения.
Пример.
Тогда
Поскольку число положительное, из двух значений берём положительное.
|
|
Можно получить разложение иррационального числа в периодическую дробь следующим способом.
a0 равно целой части некоторого числа α.
Поэтому
Далее заметим, что a1 равно целой части числа α1.
Далее, a2 равно целой части числа α2, и так далее, пока не получим цикл, то есть равенство вида αk = αn. Это означает, что получен период.
Для чисел, являющихся корнями квадратных уравнений (в том числе для квадратных корней из натуральных чисел) период получится обязательно.
Пример.
Пусть .
Целая часть α равна 1. Поэтому
Целая часть α1 равна 1.
Примечание.
В задачах такого вида целую часть нужно искать именно домножением на сопряжённые, а не на калькуляторе, потому что для больших целых чисел, например, для трёхзначных, может накопиться ошибка округления, и значения целой части найдёте неверно.
Целая часть α2 равна 2.
Образовался цикл.
Ответ для периодической непрерывной дроби записывают в виде:
При этом целая часть отделена точкой с запятой, а период заключён во внутренние скобки.
Подходящей непрерывной дробью для данного числа α называют непрерывную дробь, которую мы оборвали на одном из коэффициентов. Для вычислений на практике, разумеется, так обычно и поступают.