2. Выписать все элементы множества , где
Решение.
1 Подмножества множества могут содержать от нуля до четырёх элементов (включая пустое множество и множество ). Будем выписывать подмножества в порядке возрастания количества элементов. Учтём, что пустое множество является подмножеством любого множества, кроме того, любое множество является подмножеством самого себя.
Имеем:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
2 Будем искать множество , выполняя операции последовательно.
1) Множество состоит из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству . Имеем: ;
2) Множество состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или . Имеем:
.
3) Множество состоит из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству .
Видим, что, М – пустое множество.
2. Доказать методом включений тождество:
.
Решение.
Необходимо доказать выполнение включений:
и .
1. Выберем произвольный элемент множества . По определению операции объединения множеств или .
|
|
Если , то по определению операции пересечения множеств и .
Так как , то ; так как , то , следовательно, .
Если , то и , и, таким образом, .
Поскольку элемент множества был выбран произвольно, можно утверждать, что любой элемент этого множества содержится в , то есть .
2. Выберем произвольный элемент из множества
.
По определению операции пересечения множеств и .
Так как , то или ; так как , то или . Таким образом, или и .
Если и , то , а, следовательно, ; если , то также имеем .
Поскольку элемент множества был выбран произвольно, можно утверждать, что любой элемент этого множества содержится в , то есть .
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что .
Доказано.
2. «Отображения множеств».